Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. A quantidade de água no reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é dada por V(t)=50(80-t)^{2}. Determinar:
(a) A taxa de variação do volume de água no reservatório após 8 horas de escoamento. Resp: -7200 litros/hora.
(b) A quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas de escoamento. Resp: 38750 litros.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
V(t) = 50\,(80 - t)^{2},
onde V(t) é o volume de água (em litros) após t horas de escoamento. Precisamos de dois conceitos: derivada para obter a taxa de variação em um instante e diferença de volumes (ou integral de -V'(t)) para calcular o total escoado num intervalo de tempo.

Passo 2

Para achar a taxa de variação, calculamos a derivada de V(t). Usando a regra da cadeia:
V'(t) = \frac{d}{dt}\bigl[50\,(80 - t)^{2}\bigr] = 50 \cdot 2\,(80 - t)\cdot \frac{d}{dt}(80 - t) = 100\,(80 - t)\,(-1) = -100\,(80 - t).

Passo 3

Agora avaliamos em t = 8:
V'(8) = -100\,(80 - 8) = -100 \times 72 = -7200.
Portanto, a taxa de variação do volume após 8 horas é -7200 litros por hora.

Passo 4

Para calcular a quantidade de água escoada nas primeiras 5 horas, podemos usar a diferença
\Delta V = V(0) - V(5).
Primeiro,
V(0) = 50\,(80 - 0)^{2} = 50 \times 80^{2} = 50 \times 6400 = 320000\\ \text{litros},
e
V(5) = 50\,(80 - 5)^{2} = 50 \times 75^{2} = 50 \times 5625 = 281250\\ \text{litros}.

Passo 5

Subtraindo, obtemos
\Delta V = 320000 - 281250 = 38750\\ \text{litros}.
Essa é a quantidade de água que saiu nas primeiras 5 horas.

Resposta

(a) -7200 litros/hora.
(b) 38750 litros.

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