Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é, aproximadamente, dado por
f(t)=64 t-\frac{t^{3}}{3}
(a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t=4 ? Resp: 48 pessoas/dia.
(b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t=8 ? Resp: 0 (epidemia controlada)

Passo 1

O enunciado dá a função que estima o número de pessoas doentes em função do tempo t (em dias):
f(t)=64\,t - \frac{t^3}{3}.
Ele pede a razão de expansão da epidemia em dois instantes, o que significa calcular a derivada f'(t) e avaliá-la em t=4 e em t=8.

Passo 2

Para obter a razão de expansão, aplicamos a regra de derivação termo a termo em
f(t)=64\,t - \frac{t^3}{3}.
A derivada de 64\,t é 64 e a derivada de \tfrac{t^3}{3} é \,t^2. Logo,
f'(t)=64 - t^2.

Passo 3

Agora avaliamos a derivada em t=4:
f'(4)=64 - 4^2 = 64 - 16 = 48.
Isto quer dizer que, no dia 4, a epidemia cresce a uma taxa de 48 pessoas por dia.

Passo 4

Em seguida, avaliamos a derivada em t=8:
f'(8)=64 - 8^2 = 64 - 64 = 0.
Isso indica que, no dia 8, a taxa de expansão é zero, ou seja, a epidemia está controlada.

Resposta

(a) 48 pessoas/dia.
(b) 0 pessoas/dia.

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