Calcule as integrais:
\int_{0}^{3}\left|x^{2}-4\right| d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{3}\bigl|x^{2}-4\bigr|\,dx.
O conteúdo envolvido é a integração de função com valor absoluto. Para resolver, precisamos identificar onde o termo dentro do módulo muda de sinal e depois integrar sem o módulo em cada parte.

Passo 2

Determinamos onde x^{2}-4=0.
x^{2}-4=0\quad\Longrightarrow\quad x=\pm 2.
No intervalo de integração [0,3], o ponto relevante é x=2. Para 0\le x<2 temos x^{2}-4\le0 e para 2<x\le3 temos x^{2}-4\ge0.

Passo 3

Com isso, escrevemos
\int_{0}^{3}\bigl|x^{2}-4\bigr|\,dx =\int_{0}^{2}(4 - x^{2})\,dx +\int_{2}^{3}(x^{2}-4)\,dx.

Passo 4

Calculando a primeira parte:
\int_{0}^{2}(4 - x^{2})\,dx =\Bigl[4x - \tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{2} =\bigl(8 - \tfrac{8}{3}\bigr)-0 =\tfrac{16}{3}.

Passo 5

Calculando a segunda parte:
\int_{2}^{3}(x^{2}-4)\,dx =\Bigl[\tfrac{x^{3}}{3} - 4x\Bigr]_{2}^{3} =\bigl(9 - 12\bigr)-\bigl(\tfrac{8}{3}-8\bigr) =-3 -\bigl(\tfrac{8}{3}-8\bigr) =-3 - \tfrac{8}{3} +8 =\tfrac{7}{3}.

Passo 6

Somando os resultados das duas partes:
\tfrac{16}{3} + \tfrac{7}{3} = \tfrac{23}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{23}{3}

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