Análogo a questão 4), mostre que
Passo 1
Beleza, a questão quer que a gente mostre que
Isso faz parte da matéria de números complexos e séries de Taylor (ou Maclaurin). Para resolver, vamos precisar:
- Saber a série de Taylor do
(onde é complexo). - Saber a série de Taylor de
e de . - Entender como a potência de
se comporta (o ciclo ).
Passo 2
Primeiro, escrevemos a expansão em série de Taylor para a função exponencial com
:
Lembra que isso vem de
Passo 3
Agora vamos separar os termos pares e ímpares e usar o fato de que
e que
i^n faz um ciclo de 4:
i^0=1, i^1=i, i^2=−1, i^3=−i, i^4=1, e assim por diante.
- Para
(termos pares):
- Para
(termos ímpares):
Então a série vira
Substituindo o que achamos:
Podemos reescrever a segunda soma como
vezes uma soma com
.
Passo 4
Agora reconheça as definições das séries de
e
:
Logo a nossa expressão fica