Análogo a questão 4), mostre que
e^-i theta=cos theta-i sen theta

Passo 1

Beleza, a questão quer que a gente mostre que
e^-itheta ;=;costheta ;-;isintheta
Isso faz parte da matéria de números complexos e séries de Taylor (ou Maclaurin). Para resolver, vamos precisar:
  1. Saber a série de Taylor do e^z (onde z é complexo).
  2. Saber a série de Taylor de cos x e de sin x.
  3. Entender como a potência de i se comporta (o ciclo i^0,i^1,i^2,i^3,i^4,dots).

Passo 2

Primeiro, escrevemos a expansão em série de Taylor para a função exponencial com z = -,itheta:
e^-itheta =sumn=0^infty(-,itheta)^nn!
Lembra que isso vem de
e^z = sumn=0^infty z^nn!

Passo 3

Agora vamos separar os termos pares e ímpares e usar o fato de que
(-i)^n = (-1)^n,i^n
e que
i^n faz um ciclo de 4:
i^0=1, i^1=i, i^2=−1, i^3=−i, i^4=1, e assim por diante.
  1. Para n=2k (termos pares):
(-i)^2k = (-1)^2k,i^2k = 1cdot(-1)^k = (-1)^k
  1. Para n=2k+1 (termos ímpares):
(-i)^2k+1 = (-1)^2k+1,i^2k+1 = -1cdot icdot i^2k = -,icdot(-1)^k = (-1)^k+1,i
Então a série vira
e^-itheta =sumk=0^infty(-i)^2k,theta^2k(2k)! ;+;sumk=0^infty(-i)^2k+1,theta^2k+1(2k+1)!
Substituindo o que achamos:
=sumk=0^infty(-1)^k,theta^2k(2k)! ;+;sumk=0^infty(-1)^k+1,i,theta^2k+1(2k+1)!
Podemos reescrever a segunda soma como -,i vezes uma soma com (-1)^ktheta^2k+1/(2k+1)!.

Passo 4

Agora reconheça as definições das séries de costheta e sintheta:
costheta = sumk=0^infty(-1)^k,theta^2k(2k)!, sintheta = sumk=0^infty(-1)^k,theta^2k+1(2k+1)!
Logo a nossa expressão fica
e^-itheta = costheta ;-; i,sintheta

Resposta

boxede^-itheta = costheta ;-; i,sintheta

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