Realizando a expansão em série das funções operatorname c o s boldsymbol x x, operatorname s e n x e e^i x, demonstre a Fórmula de Euler para funções complexas:
e^i x=cos x+i sen x

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos demonstrar, a partir das séries de Maclaurin, que para qualquer número real e^i x ;=;cos x ;+;i,sen x vale
Conteúdo da matéria: séries de Taylor (Maclaurin) para funções elementares e manipulação de potências de f(x)=sumk=0^inftyf^(k)(0)k!,x^k .
O que vamos precisar:
  1. Saber a definição de série de Maclaurin:
  1. Conhecer as séries de e .
  2. Aplicar a série de a e usar .

Passo 2

Séries de Maclaurin de cos x ;=;sumn=0^infty (-1)^n,x^2n(2n)!, sen x ;=;sumn=0^infty (-1)^n,x^2n+1(2n+1)! e :
Essas fórmulas vêm de derivar e repetidas vezes em zero e usar a definição de Maclaurin.

Passo 3

Série de Maclaurin de e^i x =sumk=0^infty (i x)^kk! =sumk=0^infty i^k,x^kk! :
i^2n=l(i^2r)^n=(-1)^n,
Agora dividimos em termos de índice par sumn=0^infty i^2nx^2n(2n)! =sumn=0^infty (-1)^n,x^2n(2n)! =cos x e ímpar i^2n+1=i,(i^2)^n=i,(-1)^n, :
  1. Para sumn=0^infty i^2n+1x^2n+1(2n+1)! =sumn=0^infty i,(-1)^n,x^2n+1(2n+1)! =i,sumn=0^infty (-1)^n,x^2n+1(2n+1)! =i,sen x :
então
  1. Para :
então

Passo 4

Juntando as duas partes (par + ímpar) da série de e^i x =underbracesumn=0^infty(-1)^n,x^2n(2n)!cos x ;+; underbracei,sumn=0^infty(-1)^n,x^2n+1(2n+1)!i,sen x, , temos
ou seja

Resposta

A demonstração via séries de Maclaurin mostra que

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