Realizando a expansão em série das funções
,
e
, demonstre a Fórmula de Euler para funções complexas:
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos demonstrar, a partir das séries de Maclaurin, que para qualquer número real
vale
Conteúdo da matéria: séries de Taylor (Maclaurin) para funções elementares e manipulação de potências de
.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Saber a definição de série de Maclaurin:
- Conhecer as séries de
e . - Aplicar a série de
a e usar .
Passo 2
Séries de Maclaurin de
e :
Essas fórmulas vêm de derivar
e repetidas vezes em zero e usar a definição de Maclaurin.
Passo 3
Série de Maclaurin de
:
Agora dividimos em termos de índice par
e ímpar
:
- Para
:
então
- Para
:
então
Passo 4
Juntando as duas partes (par + ímpar) da série de
, temos
ou seja
Resposta
A demonstração via séries de Maclaurin mostra que