A energia relativista total de uma partícula de massa
e velocidade
é dada por:
Expandindo essa expressão em série de potências, mostre que no limite clássico a energia cinética é dada por
. Note que
é identificado como a energia da massa em repouso.
Passo 1
Beleza, o enunciado manda a gente expandir, em série de potências, a fórmula da energia relativística
e mostrar que, quando
Conteúdo: expansão em série (teorema binomial/Taylor) para pequenas velocidades. Vamos precisar do binomial para expoentes não inteiros e interpretar o termo
como energia de repouso.
Passo 2
Primeiro, a ideia de série de potências (ou expansão binomial) diz que, para
e qualquer
,
No nosso caso,
Passo 3
Vamos escrever
$$(1 - \tfrac{v2}{c2})^{-1/2}
= 1 + \Bigl(-\tfrac12\Bigr)\bigl(-\tfrac{v2}{c2}\bigr)
= 1 + \Bigl(-\tfrac12\Bigr)\bigl(-\tfrac{v2}{c2}\bigr)
- \frac{(-\tfrac12)(-\tfrac32)}{2!}\bigl(-\tfrac{v2}{c2}\bigr)^2 + \cdots.
(-\tfrac12)\times(-1),x = +\tfrac12,\frac{v2}{c2}.$$
Os outros termos são de ordem
ou maior, e ficam pequenos demais quando
.
Passo 4
Substituindo de volta em
, a gente tem
$$E \approx m c^2\Bigl[,1 + \tfrac12,\frac{v2}{c2}\Bigr]
= m c^2 + \tfrac12,m v^2,. $$
Aí reconhecemos que:
- é a energia de repouso (constante).
- O resto, , é o termo que sobe quando a partícula se move, i.e., a energia cinética clássica.
Aí reconhecemos que:
-
- O resto,
Resposta
No limite clássico (
), a expansão dá
e, subtraindo a energia de repouso, obtemos