A energia relativista total de uma partícula de massa m e velocidade v é dada por:
E=m c^2(1-v^2c^2)^-1 / 2
Expandindo essa expressão em série de potências, mostre que no limite clássico a energia cinética é dada por E c=1 / 2 m v^2. Note que m c^2 é identificado como a energia da massa em repouso.

Passo 1

Beleza, o enunciado manda a gente expandir, em série de potências, a fórmula da energia relativística
E ;=; m c^2,l(1 - tfracv^2c^2r)^-1/2
e mostrar que, quando vll c (o chamado limite clássico), a parte extra que sobra além de m c^2 é justamente a energia cinética
Ec = tfrac12,m,v^2,
Conteúdo: expansão em série (teorema binomial/Taylor) para pequenas velocidades. Vamos precisar do binomial para expoentes não inteiros e interpretar o termo m c^2 como energia de repouso.

Passo 2

Primeiro, a ideia de série de potências (ou expansão binomial) diz que, para |x|<1 e qualquer alpha,
(1 - x)^alpha = 1 + alpha,x + tfracalpha(alpha-1)2!,x^2 + cdots,
No nosso caso, alpha = -tfrac12 e x = tfracv^2c^2. Como estamos no limite clássico vll c, temos xll1 e podemos parar nos primeiros termos.

Passo 3

Vamos escrever
$$(1 - \tfrac{v2}{c2})^{-1/2}
= 1 + \Bigl(-\tfrac12\Bigr)\bigl(-\tfrac{v2}{c2}\bigr)
  • \frac{(-\tfrac12)(-\tfrac32)}{2!}\bigl(-\tfrac{v2}{c2}\bigr)^2 + \cdots. (1 - tfracv^2c^2)^-1/2 = 1 + l(-tfrac12r)l(-tfracv^2c^2r) + (-tfrac12)(-tfrac32)2!l(-tfracv^2c^2r)^2 + cdotsé(-\tfrac12)\times(-1),x = +\tfrac12,\frac{v2}{c2}.$$
Os outros termos são de ordem x=tfracv^2c^2 ou maior, e ficam pequenos demais quando (-tfrac12)times(-1),x = +tfrac12,v^2c^2.

Passo 4

Substituindo de volta em E = m c^2,(1 - v^2/c^2)^-1/2, a gente tem
$$E \approx m c^2\Bigl[,1 + \tfrac12,\frac{v2}{c2}\Bigr]
= m c^2 + \tfrac12,m v^2,. $$
Aí reconhecemos que:
- E approx m c^2l[,1 + tfrac12,v^2c^2r] = m c^2 + tfrac12,m v^2, é a energia de repouso (constante).
- O resto, m c^2, é o termo que sobe quando a partícula se move, i.e., a energia cinética clássica.

Resposta

No limite clássico ( vll c), a expansão dá
E = m c^2 + 12,m,v^2 + cdots
e, subtraindo a energia de repouso, obtemos
Ec = 12,m,v^2,

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