If a, b, c>0 and a+b+c=3 then
a^{4}-8 a^{3}+b^{4}-8 b^{3}+c^{4}-8 c^{3}+21 \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para a,b,c>0 com a+b+c=3, vale
a^{4}-8a^{3}+b^{4}-8b^{3}+c^{4}-8c^{3}+21\le0.
O conteúdo principal é análise de função de uma variável e aplicação da desigualdade de Jensen para função côncava.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=x^{4}-8x^{3}.
Para verificar sua concavidade em [0,3], calculamos a segunda derivada:
f''(x)=12x^{2}-48x=12x(x-4).
Como em [0,3] temos x-4\le-1, segue f''(x)\le0. Logo, f é côncava em [0,3].

Passo 3

Pela desigualdade de Jensen para função côncava,
\frac{f(a)+f(b)+f\text{(c)}}{3}\le f\!\biggl(\frac{a+b+c}{3}\biggr).
Como a+b+c=3, isso dá
f(a)+f(b)+f\text{(c)}\le 3\,f(1)=3\bigl(1^{4}-8\cdot1^{3}\bigr)=3(-7)=-21.

Passo 4

Adicionando 21 a ambos os lados da desigualdade acima, obtemos
\bigl[f(a)+f(b)+f\text{(c)}\bigr]+21\le -21+21=0,
ou seja
a^{4}-8a^{3}+b^{4}-8b^{3}+c^{4}-8c^{3}+21\le0.

Resposta

A desigualdade é verdadeira, com igualdade ocorrendo exatamente em a=b=c=1.

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