If
and
then
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para
com
, vale
O conteúdo principal é análise de função de uma variável e aplicação da desigualdade de Jensen para função côncava.
Passo 2
Definimos a função
Para verificar sua concavidade em
, calculamos a segunda derivada:
Como em
temos
, segue
. Logo,
é côncava em
.
Passo 3
Pela desigualdade de Jensen para função côncava,
Como
, isso dá
Passo 4
Adicionando
a ambos os lados da desigualdade acima, obtemos
ou seja
Resposta
A desigualdade é verdadeira, com igualdade ocorrendo exatamente em
.