Calcule as integrais indefinidas.
\int e^{\operatorname{sen}(x)} \operatorname{sen}(x) \cos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int e^{\operatorname{sen}(x)}\,\operatorname{sen}(x)\cos(x)\,dx.
Aqui vamos usar a técnica de substituição (u-substitution), reconhecendo que existe \operatorname{sen}(x)\cos(x)\,dx que se relaciona com a derivada de \operatorname{sen}(x).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \operatorname{sen}(x), \quad du = \cos(x)\,dx.
Com isso, a integral original se transforma em
\int e^{\operatorname{sen}(x)}\,\operatorname{sen}(x)\cos(x)\,dx = \int e^{u}\,u\,du.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \int u\,e^{u}\,du, usamos integração por partes. Tomamos
A = u, \quad dB = e^{u}\,du
então
dA = du, \quad B = e^{u}.
Pela fórmula de partes,
\int u\,e^{u}\,du = u\,e^{u} - \int e^{u}\,du = u\,e^{u} - e^{u} + C = e^{u}\,(u - 1) + C.

Passo 4

Voltando à variável x com u = \operatorname{sen}(x), obtemos
\int e^{\operatorname{sen}(x)}\,\operatorname{sen}(x)\cos(x)\,dx = e^{\operatorname{sen}(x)}\bigl(\operatorname{sen}(x) - 1\bigr) + C.

Resposta

e^{\operatorname{sen}(x)}\bigl(\operatorname{sen}(x) - 1\bigr) + C.

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