O valor médio de uma função contínua f(x, y, z) num sólido E é definido como
f_{m}=\frac{1}{V_{E}} \iint_{E} \int f(x, y, z) d V
onde V_{E} é o volume do sólido E. Se E=\left\{(x, y, z) \in \Re^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0\right\}, então determine o valor médio da função f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} em E.
  • Resposta: \frac{3}{5}

Passo 1

O enunciado pede o valor médio da função
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}
no sólido
E=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le1,\;x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0\}.
Sabemos que o valor médio é
f_{m}=\frac{1}{V_{E}}\iiint_{E}f(x,y,z)\,dV.
Para resolver, vamos:
  1. calcular o volume V_{E} de E,
  2. calcular \displaystyle \iiint_{E}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dV em coordenadas esféricas,
  3. dividir o resultado pelo volume V_{E}.

Passo 2

O sólido E é exatamente um oitavo de bola de raio 1. Como o volume de uma bola de raio 1 é \tfrac{4}{3}\pi, temos
V_{E}=\frac{1}{8}\cdot\frac{4}{3}\pi = \frac{\pi}{6}.

Passo 3

Em coordenadas esféricas usamos
x = r\sin\varphi\cos\theta,\quad y = r\sin\varphi\sin\theta,\quad z = r\cos\varphi,
com r\in[0,1], \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}] e \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}]. Também x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} e o elemento de volume é dV = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta. Então
\iiint_{E}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dV =\int_{0}^{1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} r^{2}\bigl(r^{2}\sin\varphi\bigr)\,d\theta\,d\varphi\,dr.
Calculando em partes:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta = \frac{\pi}{2}, \quad \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\varphi\,d\varphi = 1, \quad \int_{0}^{1}r^{4}\,dr = \frac{1}{5}.
Logo
\iiint_{E}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dV = \frac{\pi}{2}\times 1 \times \frac{1}{5} = \frac{\pi}{10}.

Passo 4

O valor médio é
f_{m} =\frac{1}{V_{E}}\iiint_{E}f\,dV =\frac{1}{\frac{\pi}{6}}\cdot\frac{\pi}{10} =\frac{6}{10} =\frac{3}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{5}

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