{ }^{a} Questão.(2,0 pts) Considere a função g definida por
g(x)=\int_{0}^{x / 4} t \operatorname{sen}(2 t) d t
(a) Mostre que g^{\prime}(x)=\frac{x}{16} \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right).
(b) Calcule g(\pi).

Passo 1

O enunciado define a função
g(x)=\int_{0}^{x/4}t\sin(2t)\,dt
e pede:
  1. Mostrar que g'(x)=\frac{x}{16}\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
  2. Calcular g(\pi).
    Para (a) vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo com regra da cadeia; para (b) faremos a integral de t\sin(2t) por partes.

Passo 2

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, se
g(x)=\int_{0}^{u(x)}f(t)\,dt
então
g'(x)=f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
Aqui u(x)=x/4 e f(t)=t\sin(2t). Logo
u'(x)=\tfrac{1}{4},
f\bigl(u(x)\bigr)=\tfrac{x}{4}\,\sin\bigl(2\cdot\tfrac{x}{4}\bigr) =\tfrac{x}{4}\,\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).

Passo 3

Então
g'(x) =f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x) =\bigl(\tfrac{x}{4}\sin\!\tfrac{x}{2}\bigr)\cdot\tfrac{1}{4} =\tfrac{x}{16}\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).

Passo 4

Para calcular g(\pi) precisamos de
g(\pi)=\int_{0}^{\pi/4}t\sin(2t)\,dt.
Usamos integração por partes: seja u=t e dv=\sin(2t)\,dt. Então
du=dt, \quad v=-\frac{\cos(2t)}{2}.
Logo
\int t\sin(2t)\,dt =uv-\int v\,du =-\frac{t\cos(2t)}{2}+\int\frac{\cos(2t)}{2}\,dt.

Passo 5

Calculamos a última integral:
\int\frac{\cos(2t)}{2}\,dt =\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin(2t)}{2} =\frac{\sin(2t)}{4}.
Portanto
\int t\sin(2t)\,dt =-\frac{t\cos(2t)}{2}+\frac{\sin(2t)}{4}+C.
Avaliando de 0 a \pi/4:
em t=\pi/4, \cos(\pi/2)=0 e \sin(\pi/2)=1
-\frac{\pi/4\cdot0}{2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4},
em t=0, os termos são zero. Logo
g(\pi)=\frac{1}{4}.

Resposta

g'(x)=\frac{x}{16}\sin\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)
g(\pi)=\tfrac{1}{4}

Exercícios relacionados