Em vôo horizontal, a 3000 m de altitude, com velocidade constante de 540 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, um bombardeiro deixa cair uma bomba. Esta explode 15 segundos antes de atingir o solo. Desprezando a resistência do ar e considerando a aceleração da gravidade de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, determine:
a) a velocidade (módulo, direção e sentido) da bomba no momento explosão. ( v=177,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e \theta=327,67^{\circ} )
b) a que distância na horizontal estava o avião da bomba quando esta explode. ( 0 m )

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Altitude inicial da bomba: H=3000\\ \mathrm{m}.
    • Velocidade do avião (horizontal, constante): v_{\text{avião}}=540\\ \mathrm{km/h}ã.
    • A bomba explode 15\\ \mathrm{s} antes de atingir o solo.
    • Despreza-se resistência do ar.
    • Aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^2}.
  • Perguntas:
    a) Determinar a velocidade da bomba no momento da explosão: módulo, direção e sentido.
    b) Determinar a que distância na horizontal estava o avião da bomba quando esta explode (ou seja, a separação horizontal entre avião e bomba no instante da explosão).

Passo 2

Primeiro converto a velocidade do avião para unidades compatíveis (m/s), porque todas as fórmulas de movimento usam o SI.
v_{\text{avião}} = 540\\ \mathrm{km/h} = 540\cdot\frac{1000}{3600}\\ \mathrm{m/s} = 150\\ \mathrm{m/s}.ã
Explicação rápida: multiplicar por 1000/3600 transforma km/h em m/s (1 km = 1000 m, 1 h = 3600 s).

Passo 3

Agora encontro o tempo total que a bomba levaria para atingir o solo se fosse solta do avião (queda livre vertical), e depois determino o instante de explosão.
Para a queda vertical, como a velocidade inicial vertical é zero (o avião voa horizontalmente), a relação entre altura e tempo é
H=\tfrac{1}{2} g t_{\text{total}}^{2},
onde t_{\text{total}} é o tempo até o impacto. Resolvendo para t_{\text{total}}:
t_{\text{total}}=\sqrt{\dfrac{2H}{g}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot3000}{10}}=\sqrt{600} \approx 24{,}494897\\ \mathrm{s}.
A bomba explode 15\\ \mathrm{s} antes do impacto, portanto o instante da explosão, contado a partir do momento da soltura, é
t_e = t_{\text{total}} - 15 \approx 24{,}494897 - 15 = 9{,}494897\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Componentes da velocidade da bomba no instante da explosão.
  • Componente horizontal: sem resistência do ar, a componente horizontal permanece igual à do avião (velocidade inicial horizontal) e é constante:
v_x = 150\\ \mathrm{m/s}.
  • Componente vertical: partindo de velocidade vertical inicial zero, a velocidade vertical ao tempo t_e é
v_y = g\,t_e = 10\cdot 9{,}494897 \approx 94{,}94897\\ \mathrm{m/s},
no sentido para baixo. No sistema de coordenadas padrão podemos escrever v_y=-94{,}94897\\ \mathrm{m/s} (o sinal negativo indica que é para baixo).
Breve explicação: movimento vertical é uniformemente acelerado com aceleração g, então v_y(t)=v_{y0}+g t, aqui v_{y0}=0.

Passo 5

Agora calculo o módulo da velocidade resultante usando o teorema de Pitágoras (componentes ortogonais):
v=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}=\sqrt{(150)^{2}+(94{,}94897)^{2}}.
Faço as contas passo a passo:
150^{2}=22500, \qquad (94{,}94897)^{2}\approx 9015{,}3056,
v=\sqrt{22500+9015{,}3056}=\sqrt{31515{,}3056}\approx 177{,}551\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando com duas casas decimais: v\approx 177{,}55\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Direção e sentido da velocidade.
A direção (ângulo) medido a partir do eixo +x (sentido do voo do avião), no sentido anti-horário, é dada por
\theta=\arctan\!\left(\dfrac{v_y}{v_x}\right)=\arctan\!\left(\dfrac{-94{,}94897}{150}\right).
Calcule:
\arctan\!\left(\dfrac{-94{,}94897}{150}\right)\approx -32{,}330^{\circ}.
Um ângulo negativo significa 32{,}330^{\circ} abaixo do eixo +x. Se preferirmos o ângulo no intervalo 0^\circ a 360^\circ,
\theta = 360^\circ - 32{,}330^\circ = 327{,}670^\circ \approx 327{,}67^\circ.
Sentido: a velocidade aponta para baixo e para a direita (ou seja, para a frente do avião e para baixo).

Passo 7

Distância horizontal entre avião e bomba no instante da explosão.
Explicação conceitual importante (e a parte que gera “0 m”): desprezando a resistência do ar, não há força horizontal, logo a componente horizontal da velocidade da bomba permanece igual à do avião desde o momento da soltura. Assim o avião e a bomba têm a mesma velocidade horizontal v_x=150\\ \mathrm{m/s}, então a separação horizontal entre eles permanece igual à separação inicial no instante da soltura. No instante da soltura essa separação inicial é zero (a bomba parte do avião), portanto em todos os instantes posteriores, incluindo o da explosão, a separação horizontal é
\Delta x = (v_{\text{avião}}-v_x)\,t_e = (150-150)\,t_e = 0\\ \mathrm{m}.ã
Logo o avião estava exatamente sobre a bomba na horizontal no momento da explosão (se ignorarmos resistência do ar).

Resposta

a) v=177{,}55\\ \mathrm{m/s},\\ \theta=327{,}67^\circ (direção: para baixo e para a direita).\n
b) 0\\ \mathrm{m}

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