6* - Uma barra de comprimento
, cujo material é feito de uma liga com
, possui uma pequena rachadura no centro e está fixada nas extremidades. Aumentando-se a temperatura de
, ela entorta para cima formando um triângulo isósceles (devido à presença da rachadura). obtenha o ângulo com a horizontal.
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte (peguei todos os dados do enunciado):
- Uma barra de comprimento inicial
está presa nas extremidades (a distância entre as extremidades permanece fixa e igual a ). - Há uma pequena rachadura no centro, de modo que, ao aquecer, a barra pode dobrar formando um triângulo isósceles com o vértice para cima.
- Coeficiente de dilatação linear:
. - Aumento de temperatura:
. - O enunciado pede: obter o ângulo que cada ramo (cada metade da barra) forma com a horizontal. Denotaremos esse ângulo por
.
Passo 2
Conceito físico usado: dilatação térmica linear. Quando a temperatura sobe, o comprimento da barra aumenta segundo a lei
onde:
-
é o comprimento inicial, -
é o coeficiente de dilatação linear, -
é a variação de temperatura, -
é o novo comprimento total da barra após o aquecimento (se livre para alongar).
Aqui a barra não pode aumentar a distância entre as extremidades (elas estão fixas), então o aumento de comprimento total
leva à deflexão para cima, formando dois segmentos retos (devido à rachadura central), cada um com comprimento
Calculemos numericamente o fator de alongamento:
Passo 3
Geometria do triângulo isósceles formado:
- A base do triângulo é a distância fixa entre as extremidades, que é
. - Cada lado do triângulo é
. - A projeção horizontal de cada lado vale metade da base, isto é
.
Definindo
como o ângulo entre um lado e a horizontal, pela definição do cosseno num triângulo retângulo:
Substituindo
obtém-se, de forma simples,
Passo 4
Agora substituímos os valores numéricos:
Para obter
calculamos o arco-cosseno. Como o ângulo é pequeno, pode-se usar a aproximação
para checar, ou calcular diretamente
.
Usando a aproximação (cheque rápido):
Convertendo para graus:
Passo 5
Interpretação e verificação rápida: o ângulo obtido é pequeno (poucos graus), o que faz sentido pois a dilatação total é pequena (
). A expressão fechada útil para a prova é
e para pequenos
pode-se usar
(aproximação derivada da expansão em série), que dá resultado próximo ao calculado acima.