6* - Uma barra de comprimento L_{\mathrm{o}}, cujo material é feito de uma liga com \alpha=3.0 \times 10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}, possui uma pequena rachadura no centro e está fixada nas extremidades. Aumentando-se a temperatura de 40^{\circ} \mathrm{C}, ela entorta para cima formando um triângulo isósceles (devido à presença da rachadura). obtenha o ângulo com a horizontal.

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (peguei todos os dados do enunciado):
  • Uma barra de comprimento inicial \,L_{0}\, está presa nas extremidades (a distância entre as extremidades permanece fixa e igual a \,L_{0}\,).
  • Há uma pequena rachadura no centro, de modo que, ao aquecer, a barra pode dobrar formando um triângulo isósceles com o vértice para cima.
  • Coeficiente de dilatação linear: \,\alpha=3,0\times10^{-5}{ }^{\circ}\mathrm{C}^{-1}.
  • Aumento de temperatura: \,\Delta T=40^{\circ}\mathrm{C}.
  • O enunciado pede: obter o ângulo que cada ramo (cada metade da barra) forma com a horizontal. Denotaremos esse ângulo por \theta.

Passo 2

Conceito físico usado: dilatação térmica linear. Quando a temperatura sobe, o comprimento da barra aumenta segundo a lei
L=L_{0}\bigl(1+\alpha\Delta T\bigr),
onde:
  • \,L_{0}\, é o comprimento inicial,
  • \,\alpha\, é o coeficiente de dilatação linear,
  • \,\Delta T\, é a variação de temperatura,
  • \,L\, é o novo comprimento total da barra após o aquecimento (se livre para alongar).
Aqui a barra não pode aumentar a distância entre as extremidades (elas estão fixas), então o aumento de comprimento total \,L-L_{0}\, leva à deflexão para cima, formando dois segmentos retos (devido à rachadura central), cada um com comprimento
\ell=\frac{L}{2}=\frac{L_{0}}{2}\bigl(1+\alpha\Delta T\bigr).
Calculemos numericamente o fator de alongamento:
1+\alpha\Delta T=1+3{,}0\times10^{-5}\times40=1+0{,}0012=1{,}0012.

Passo 3

Geometria do triângulo isósceles formado:
  • A base do triângulo é a distância fixa entre as extremidades, que é \,L_{0}\,.
  • Cada lado do triângulo é \,\ell=\dfrac{L}{2}.
  • A projeção horizontal de cada lado vale metade da base, isto é \dfrac{L_{0}}{2}.
Definindo \theta como o ângulo entre um lado e a horizontal, pela definição do cosseno num triângulo retângulo:
\cos\theta=\frac{\text{projeção horizontal do lado}}{\text{comprimento do lado}}=\frac{L_{0}/2}{\ell}.çã
Substituindo \ell=L/2 obtém-se, de forma simples,
\cos\theta=\frac{L_{0}}{L}=\frac{1}{1+\alpha\Delta T}.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos:
\cos\theta=\frac{1}{1{,}0012}\approx0{,}99880144.
Para obter \theta calculamos o arco-cosseno. Como o ângulo é pequeno, pode-se usar a aproximação \theta\approx\sqrt{2(1-\cos\theta)} para checar, ou calcular diretamente \theta=\operatorname{arccos}(\cos\theta).
Usando a aproximação (cheque rápido):
1-\cos\theta\approx1-0{,}99880144=0{,}00119856,
\theta\approx\sqrt{2\cdot0{,}00119856}\approx0{,}04896\\ \text{rad}.
Convertendo para graus:
\theta\\ (\text{graus})=\theta\\ (\text{rad})\times\frac{180}{\pi}\approx0{,}04896\times\frac{180}{\pi}\approx2{,}81^{\circ}.

Passo 5

Interpretação e verificação rápida: o ângulo obtido é pequeno (poucos graus), o que faz sentido pois a dilatação total é pequena ( 0{,}12\%). A expressão fechada útil para a prova é
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{1+\alpha\Delta T}\right),
e para pequenos \alpha\Delta T pode-se usar \theta\approx\sqrt{2\alpha\Delta T} (aproximação derivada da expansão em série), que dá resultado próximo ao calculado acima.

Resposta

\theta\approx2{,}81^\circ

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