Um anel e um cilindro maciço tem a mesma massa. Existe solução possível se
? Explique.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: “Um anel (massa
, raio
) e um cilindro maciço (mesma massa
, raio
) rolam sem deslizar. Pergunta: existe alguma situação em que o anel seja mais rápido do que o cilindro se valer a condição
Isso é um problema de Mecânica (cinemática e dinâmica de corpo em rotação). Para resolver, a gente vai precisar de:
- o momento de inércia de cada corpo,
- as equações de Newton para rotação e translação,
- a condição de “sem deslizamento” (v = ωR),
e daí comparar as acelerações.
Passo 2
Primeiro, lembra os momentos de inércia:
- Para o anel fino de massa
e raio ,
- Para o cilindro maciço de massa
e raio ,
Passo 3
Agora, para um corpo rolando sem deslizar numa rampa inclinada de ângulo
, puxado pela força peso, a aceleração
satisfaz:
- Translação:
- Rotação (torque do atrito gera aceleração angular):
e como não desliza,
.
Passo 4
Juntando tudo dá a famosa fórmula
– Para o anel:
– Para o cilindro:
Passo 5
Perceba que nenhuma dessas expressões depende do tamanho do raio — elas só “viraram” números puros (½ e 2/3). Logo, não adianta escolher
ou qualquer outra relação de raios: o cilindro maciço sempre acelera mais (2/3 > 1/2) e chega primeiro.
Resposta
Não existe solução possível:, mesmo se
, a aceleração de cada um é fixa (½
para o anel e 2/3
para o cilindro), de modo que o cilindro é sempre mais rápido.