Um anel e um cilindro maciço tem a mesma massa. Existe solução possível se R anel ^2>2 R cilindro ^2 ? Explique.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: “Um anel (massa m, raio Rrm anel) e um cilindro maciço (mesma massa m, raio Rrm cilindro) rolam sem deslizar. Pergunta: existe alguma situação em que o anel seja mais rápido do que o cilindro se valer a condição
Rrm anel^2 > 2,Rrm cilindro^2;?
Isso é um problema de Mecânica (cinemática e dinâmica de corpo em rotação). Para resolver, a gente vai precisar de:
  1. o momento de inércia de cada corpo,
  2. as equações de Newton para rotação e translação,
  3. a condição de “sem deslizamento” (v = ωR),
    e daí comparar as acelerações.

Passo 2

Primeiro, lembra os momentos de inércia:
  • Para o anel fino de massa m e raio Rrm anel,
Irm anel = m,Rrm anel^2
  • Para o cilindro maciço de massa m e raio Rrm cilindro,
Irm cilindro = tfrac12,m,Rrm cilindro^2

Passo 3

Agora, para um corpo rolando sem deslizar numa rampa inclinada de ângulo theta, puxado pela força peso, a aceleração a satisfaz:
  1. Translação:
m,gsintheta - Frm atrito = m,a
  1. Rotação (torque do atrito gera aceleração angular):
Frm atrito,R = I,alpha,
e como não desliza, alpha = a / R.

Passo 4

Juntando tudo dá a famosa fórmula
a ;=;g,sintheta1 + dfracIm,R^2
– Para o anel:
arm anel =g,sintheta1 + dfracm,Rrm anel^2m,Rrm anel^2 =g,sintheta1 + 1 =g,sintheta2
– Para o cilindro:
arm cilindro =g,sintheta1 + dfractfrac12,m,Rrm cilindro^2m,Rrm cilindro^2 =g,sintheta1 + tfrac12 =g,sinthetatfrac32 =23,g,sintheta

Passo 5

Perceba que nenhuma dessas expressões depende do tamanho do raio — elas só “viraram” números puros (½ e 2/3). Logo, não adianta escolher
Rrm anel^2 > 2,Rrm cilindro^2
ou qualquer outra relação de raios: o cilindro maciço sempre acelera mais (2/3 > 1/2) e chega primeiro.

Resposta

Não existe solução possível:, mesmo se Rrm anel^2>2,Rrm cilindro^2, a aceleração de cada um é fixa (½ gsintheta para o anel e 2/3 gsintheta para o cilindro), de modo que o cilindro é sempre mais rápido.

Exercícios relacionados