Uma barra de secção transversal constante de 1 cm^2 de área tem 15 cm de comprimento, dos quais 5 cm de alumínio e 10 cm de cobre. A extremidade de alumínio está em contato com um reservatório térmico a 100^circ C, e a de cobre com outro, a 0^circ C. A condutividade térmica do alumínio é 0,48 cal / s cm ^circ C e a do cobre é 0,92 cal / s cm ^circ C. (a) Qual é a temperatura da barra na junção entre o alumínio e o cobre? (b) Se o reservatório térmico a 0^circ C é uma mistura de água com gelo fundente, qual é a massa de gelo que se derrete por hora? O calor latente de fusão do gelo é 80 cal / g.
11a
Uma barra de secção transversal constante de 1 cm^2 de área tem 15 cm de comprimento, dos quais 5 cm de alumínio e 10 cm de cobre. A extremidade de alumínio está em contato com um reservatório térmico a 100^circ C, e a de cobre com outro, a 0^circ C. A condutividade térmica do alumínio é 0,48 cal / s cm ^circ C e a do cobre é 0,92 cal / s cm ^circ C. Qual é a temperatura da barra na junção entre o alumínio e o cobre?

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos uma barra composta de dois materiais em série: 5 cm de alumínio e 10 cm de cobre, ambos com seção de 1 cm². A extremidade de alumínio está a 100 °C e a de cobre a 0 °C. Queremos achar a temperatura na junção (T_j). Isso é um problema de condução de calor em regime estacionário, usando a lei de Fourier para condução em série. Vamos precisar das condutividades (k₁ e k₂), dos comprimentos (l₁ e l₂) e da ideia de que o fluxo de calor é o mesmo nos dois trechos.

Passo 2

Em regime estacionário, o fluxo de calor Q = k,A,(Textremo quente - Textremo frio)l é constante ao longo da barra. Para cada trecho vale a lei de Fourier simplificada:
Q = k1 A (T1 - Tj)l1,
No alumínio (trecho 1):
Q = k2 A (Tj - T2)l2
e no cobre (trecho 2):
k1A,(T1 - Tj)l1 = k2A,(Tj - T2)l2
Como é o mesmo , igualamos:
A área cancela de ambos os lados.

Passo 3

Substituindo os valores numéricos:
k₁ = 0,48 cal/s·cm·°C, l₁ = 5 cm, T₁ = 100 °C;
k₂ = 0,92 cal/s·cm·°C, l₂ = 10 cm, T₂ = 0 °C.
Então:
0,485,(100 - Tj) ;=; 0,9210,(Tj - 0)
Calculemos os coeficientes:
a = 0,485 = 0,096, b = 0,9210 = 0,092
Fica:
0,096,(100 - Tj) = 0,092,Tj Longrightarrow 9,6 - 0,096,Tj = 0,092,Tj
Juntando termos em 9,6 = (0,096 + 0,092),Tj = 0,188,Tj Longrightarrow Tj = 9,60,188 approx 51,06 ^circC :

Resposta

A temperatura na junção entre alumínio e cobre é aproximadamente .

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