Um anel circular de raio
(constante) está uniformemente carregado de eletricidade. Sendo $Q$ a carga total (constante), a força exercida por essa carga sobre uma carga unitária localizada a uma distância
do centro do anel, numa direção perpendicular ao plano do anel , é dada por
Determine, utilizando derivada, o valor de
que maximiza
.
Passo 1
Beleza! Vamos lá: você tem um anel circular de raio $ a $ carregado uniformemente com uma carga total $ Q $. Queremos descobrir em que distância $ x $ do centro desse anel, na direção perpendicular ao plano do anel, a força $ F $ exercida sobre uma carga unitária é máxima. Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, para encontrar o ponto onde a força $ F $ atinge seu valor máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula da força:
Aqui, $ F $ depende de $ x $, que é a distância do centro do anel até a carga unitária. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ x $ que torna $ F $ máximo.
Passo 3
Para encontrar o valor de $ x $ que maximiza $ F $, precisamos encontrar onde a derivada de $ F $ em relação a $ x $ é igual a zero. Em outras palavras, vamos calcular $ \frac{dF}{dx} $ e resolver $ \frac{dF}{dx} = 0 $.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de $ F $ em relação a $ x $. A função $ F $ é:
Para derivar isso, vamos usar a regra do quociente e a regra da cadeia.
Passo 5
Aplicando a regra do quociente, temos:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 6
Simplificando o numerador:
Podemos fatorar $ (x^{2} + a{2}){\frac{1}{2}} $:
Passo 7
Então, a derivada fica:
Simplificando as potências:
Passo 8
Agora, para encontrar o ponto máximo, igualamos a derivada a zero:
O denominador nunca é zero, então basta resolver o numerador:
Passo 9
Resolvendo para $ x $:
Resposta
O valor de $ x $ que maximiza a força $ F $ é $ x = \frac{a \sqrt{2}}{2} $.