Um anel circular de raio a (constante) está uniformemente carregado de eletricidade. Sendo $Q$ a carga total (constante), a força exercida por essa carga sobre uma carga unitária localizada a uma distância Q do centro do anel, numa direção perpendicular ao plano do anel , é dada por
x
Determine, utilizando derivada, o valor de F=Q x(x^2+a^2)^32 que maximiza x.

Passo 1

Beleza! Vamos lá: você tem um anel circular de raio $ a $ carregado uniformemente com uma carga total $ Q $. Queremos descobrir em que distância $ x $ do centro desse anel, na direção perpendicular ao plano do anel, a força $ F $ exercida sobre uma carga unitária é máxima. Para resolver isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, para encontrar o ponto onde a força $ F $ atinge seu valor máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da força:
F = Q x(x^2 + a^2)^32
Aqui, $ F $ depende de $ x $, que é a distância do centro do anel até a carga unitária. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ x $ que torna $ F $ máximo.

Passo 3

Para encontrar o valor de $ x $ que maximiza $ F $, precisamos encontrar onde a derivada de $ F $ em relação a $ x $ é igual a zero. Em outras palavras, vamos calcular $ \frac{dF}{dx} $ e resolver $ \frac{dF}{dx} = 0 $.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de $ F $ em relação a $ x $. A função $ F $ é:
F
Para derivar isso, vamos usar a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 5

Aplicando a regra do quociente, temos:
dFdx = Q cdot (x^2 + a^2)^32 cdot 1 - x cdot 32(x^2 + a^2)^12 cdot 2x(x^2 + a^2)^3
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 6

Simplificando o numerador:
(x^2 + a^2)^32 - 3x^2(x^2 + a^2)^12
Podemos fatorar $ (x^{2} + a{2}){\frac{1}{2}} $:
(x^2 + a^2)^12

Passo 7

Então, a derivada fica:
Simplificando as potências:
dFdx = Q cdot (x^2 + a^2)^12 (a^2 - 2x^2)(x^2 + a^2)^3

Passo 8

Agora, para encontrar o ponto máximo, igualamos a derivada a zero:
a^2 - 2x^2(x^2 + a^2)^52 = 0
O denominador nunca é zero, então basta resolver o numerador:
a^2 - 2x^2 = 0

Passo 9

Resolvendo para $ x $:
x

Resposta

O valor de $ x $ que maximiza a força $ F $ é $ x = \frac{a \sqrt{2}}{2} $.

Exercícios relacionados