Um disco uniformemente carregado esta no plano x y com seu eixo coincidindo com o eixo z. Sem usar resultados prévios, demonstre que o campo elétrico num ponto sobre o eixo z , a uma distancia h do plano x y, è:
E=rhos2 varepsilon0(1-hraizr^2+h^2) z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um disco uniformemente carregado no plano com carga de densidade superficial e queremos descobrir o campo elétrico em um ponto sobre o eixo , a uma distância desse plano. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a integração do campo elétrico gerado por elementos de carga no disco.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular o campo elétrico gerado por uma distribuição de carga. O campo elétrico dE = 14pi varepsilon0 dqr^2 r em um ponto devido a uma pequena carga é dado pela Lei de Coulomb:
Aqui, é a distância entre a carga e o ponto onde estamos calculando o campo, e é o vetor unitário na direção de .

Passo 3

Como o disco é simétrico, é mais fácil considerar o disco como sendo composto por várias anéis concêntricos de raio dq = rhos cdot 2pi s , ds e espessura . Cada anel tem uma carga superficial que podemos expressar em termos da densidade superficial :

Passo 4

Para cada anel, o campo elétrico gerado no ponto ao longo do eixo dEz = 14pi varepsilon0 dq cdot h(s^2 + h^2)^3/2 terá apenas a componente na direção dEz = rhos cdot 2pi s , ds cdot h4pi varepsilon0 (s^2 + h^2)^3/2 = rhos h s , ds2 varepsilon0 (s^2 + h^2)^3/2 , já que as componentes radiais se cancelam pela simetria. A componente do campo elétrico gerado por um anel é dada por:
Substituindo na equação:

Passo 5

Agora, para encontrar o campo elétrico total, integramos Ez = integral0^r rhos h s , ds2 varepsilon0 (s^2 + h^2)^3/2 de Ez = rhos h4 varepsilon0 integralh^2^r^2 + h^2 u^-3/2 , du = rhos h4 varepsilon0 [ -2 u^-1/2 ]h^2^r^2 + h^2 até Ez = rhos h4 varepsilon0 ( -2 (r^2 + h^2)^-1/2 + 2 h^-1 ) = rhos2 varepsilon0 (1 - hraizr^2 + h^2 ) , onde é o raio do disco:
Fazendo a substituição , temos , o que simplifica a integral para:
Calculando os limites:

Resposta

O campo elétrico no ponto sobre o eixo E = rhos2 varepsilon0 (1 - hraizr^2 + h^2) z , a uma distância do plano , é:

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