Um disco uniformemente carregado esta no plano
com seu eixo coincidindo com o eixo
. Sem usar resultados prévios, demonstre que o campo elétrico num ponto sobre o eixo z , a uma distancia
do plano
, è:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um disco uniformemente carregado no plano
com carga de densidade superficial
e queremos descobrir o campo elétrico em um ponto sobre o eixo
, a uma distância
desse plano. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a integração do campo elétrico gerado por elementos de carga no disco.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular o campo elétrico gerado por uma distribuição de carga. O campo elétrico
em um ponto devido a uma pequena carga
é dado pela Lei de Coulomb:
Aqui,
é a distância entre a carga
e o ponto onde estamos calculando o campo, e
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 3
Como o disco é simétrico, é mais fácil considerar o disco como sendo composto por várias anéis concêntricos de raio
e espessura
. Cada anel tem uma carga superficial
que podemos expressar em termos da densidade superficial
:
Passo 4
Para cada anel, o campo elétrico gerado no ponto ao longo do eixo
terá apenas a componente na direção
, já que as componentes radiais se cancelam pela simetria. A componente
do campo elétrico gerado por um anel é dada por:
Substituindo
na equação:
Passo 5
Agora, para encontrar o campo elétrico total, integramos
de
até
, onde
é o raio do disco:
Fazendo a substituição
, temos
, o que simplifica a integral para:
Calculando os limites:
Resposta
O campo elétrico no ponto sobre o eixo
, a uma distância
do plano
, é: