Um anel, com 2,5 cm de raio, está uniformemente carregado com uma densidade linear de carga de valor 3,0 nC/m. O anel está no plano x y com seu centro na origem. Determine o ponto ao longo do eixo do anel, eixo z, no qual o campo elétrico produzido pelo anel é máximo. Calcule a intensidade deste campo elétrico máximo.

Passo 1

Então, a questão é a seguinte: a gente tem um anel de raio R = 2,5 cm (ou seja, 0,025 m) carregado uniformemente com densidade linear lambda = 3,0;nC/m (isto é, 3,0times10^-9,C/m). Esse anel está no plano xy com centro na origem, e a gente precisa:
  1. descobrir em qual ponto ao longo do eixo z (perpendicular ao anel) o módulo do campo elétrico E produzido por esse anel é máximo;
  2. calcular o valor numérico desse Emax.
O conteúdo aqui é eletrostática, mais especificamente:
  • Campo elétrico produzido por uma distribuição contínua de carga (aqui, uma linha fechada: o anel).
  • Uso da expressão E(z) para um anel carregado e aplicação de derivada para achar ponto máximo.
Para resolver vamos precisar:
  • A fórmula do campo de um anel no seu eixo.
  • Derivar essa função E(z) em relação a z.
  • Encontrar a raiz da derivada (ponto crítico).
  • Substituir para achar Emax.

Passo 2

Começando do início: qual é a expressão do campo elétrico no eixo de um anel de carga total q e raio R?
Por simetria, só existe componente ao longo de z, dada por
E(z);=;14pivarepsilon0;q,zl(z^2+R^2r)^3/2
Aqui, q é a carga total do anel. Como a densidade linear é lambda, temos
q ;=;lambda,(2pi R)
Então, escrevendo tudo em função de lambda e R,
E(z);=;14pivarepsilon0;lambda,(2pi R);z(z^2+R^2)^3/2
A constante 1/(4pivarepsilon0) a gente costuma chamar de kapprox8,99times10^9;SI.

Passo 3

Agora a mágica: achar onde E(z) é máximo. A gente faz a derivada dfracdEdz e iguala a zero.
Para simplificar, chamo
E(z)=C,z(z^2+R^2)^3/2, C=k,2pilambda R1
Então
dEdz = C;(z^2+R^2)^3/2 - zcdot32(z^2+R^2)^1/2,2z(z^2+R^2)^3 =0
No numerador fica
(z^2+R^2)^3/2 - 3z^2,(z^2+R^2)^1/2 = (z^2+R^2)^1/2l(z^2+R^2 -3z^2r)
Igualando a zero (desprezando a parte (z^2+R^2)^1/2neq0), vem
z^2+R^2 -3z^2 = 0 Longrightarrow R^2 -2z^2=0 Longrightarrow z^2 = R^22 Longrightarrow z = Rraiz2
Então o campo é máximo em z = R/raiz2 (e vale também para z<0, mas a gente costuma citar o positivo).

Passo 4

Falta achar Emax = El(z=R/raiz2r). Volto à fórmula direta:
E(z) = k,2pilambda R;z(z^2+R^2)^3/2
Substituindo z=R/raiz2:
  • z^2+R^2 = R^2/2 + R^2 = tfrac32,R^2,
  • (z^2+R^2)^3/2 = l(tfrac32,R^2r)^3/2 = l(tfrac32r)^3/2R^3,
e l(tfrac32r)^3/2 = tfrac3raiz32raiz2. Então
Emax = k,2pilambda R,(R/raiz2)l(tfrac32r)^3/2R^3 = k,lambda,2piR;1raiz2;1tfrac3raiz32raiz2 = k,lambda,4pi3raiz3,R
Agora os números:
  • k=8,99times10^9;Ncdot m^2/C^2,
  • lambda=3,0times10^-9,C/m,
  • R=0,025;m.
Logo
Emax = 8,99times10^9;times,3,0times10^-9,times,4pi 3raiz3,times0,025 approx 2,6times10^3;V/m

Resposta

Localização do Emax:
z = Rraiz2approx0,0251,414approx0,0177;m;(1,77;cm)
Valor do campo máximo:
Emaxapprox2,6times10^3;V/m

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