Um anel, com
de raio, está uniformemente carregado com uma densidade linear de carga de valor
. O anel está no plano
com seu centro na origem. Determine o ponto ao longo do eixo do anel, eixo
, no qual o campo elétrico produzido pelo anel é máximo. Calcule a intensidade deste campo elétrico máximo.
Passo 1
Então, a questão é a seguinte: a gente tem um anel de raio
(ou seja,
) carregado uniformemente com densidade linear
(isto é,
). Esse anel está no plano
com centro na origem, e a gente precisa:
- descobrir em qual ponto ao longo do eixo
(perpendicular ao anel) o módulo do campo elétrico produzido por esse anel é máximo; - calcular o valor numérico desse
.
O conteúdo aqui é eletrostática, mais especificamente:
- Campo elétrico produzido por uma distribuição contínua de carga (aqui, uma linha fechada: o anel).
- Uso da expressão
para um anel carregado e aplicação de derivada para achar ponto máximo.
Para resolver vamos precisar:
- A fórmula do campo de um anel no seu eixo.
- Derivar essa função
em relação a . - Encontrar a raiz da derivada (ponto crítico).
- Substituir para achar
.
Passo 2
Começando do início: qual é a expressão do campo elétrico no eixo de um anel de carga total
e raio
?
Por simetria, só existe componente ao longo de , dada por
Por simetria, só existe componente ao longo de
Aqui,
é a carga total do anel. Como a densidade linear é
, temos
Então, escrevendo tudo em função de
e
,
A constante
a gente costuma chamar de
.
Passo 3
Agora a mágica: achar onde
é máximo. A gente faz a derivada
e iguala a zero.
Para simplificar, chamo
Para simplificar, chamo
Então
No numerador fica
Igualando a zero (desprezando a parte
), vem
Então o campo é máximo em
(e vale também para
, mas a gente costuma citar o positivo).
Passo 4
Falta achar
. Volto à fórmula direta:
Substituindo
:
-
, -
,
e
. Então
Agora os números:
-
, -
, -
.
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Resposta
Localização do
:
Valor do campo máximo: