Uma linha de carga com uma densidade uniforme de
encontra-se ao longo da linha
, entre os pontos com corrdenadas
e
. Encontre a força elétrica que atua numa carga de
colocada na origem.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma linha carregada com densidade linear uniforme λ = 35 nC/m (ou seja λ = 35×10⁻⁹ C/m) estendida sobre a reta y = –0,15 m, do ponto x = 0 até x = 0,40 m. Queremos achar a força elétrica que essa “varinha de carga” faz numa carga de prova q₀ = 1,0 μC (ou seja 1,0×10⁻⁶ C) que está na origem (0,0).
Conteúdo: eletrostática (Lei de Coulomb e integração de uma distribuição contínua de carga). Vamos precisar:
Conteúdo: eletrostática (Lei de Coulomb e integração de uma distribuição contínua de carga). Vamos precisar:
- A lei de Coulomb diferencial: dF = k·q₀·dQ / r² r̂
- Expressar dQ = λ dx
- Montar a integral vetorial (componentes x e y)
- Fazer as integrais, aplicar limites de 0 a 0,40 m
Passo 2
Primeiro, lembre da Lei de Coulomb para um elemento de carga dQ numa posição (x, –0,15):
dF = k·q₀·dQ
r²
r̂
onde r = distância do elemento até a origem, r = √(x² + 0,15²).
E dQ = λ dx.
O vetor unitário r̂ vai de (x, –0,15) até (0,0), ou seja r = (–x, +0,15) e r̂ = (–x/r, 0,15/r).
dF = k·q₀·dQ
r²
r̂
onde r = distância do elemento até a origem, r = √(x² + 0,15²).
E dQ = λ dx.
O vetor unitário r̂ vai de (x, –0,15) até (0,0), ou seja r = (–x, +0,15) e r̂ = (–x/r, 0,15/r).
Passo 3
Vamos separar em componentes:
dFₓ = dF·(–x/r) = k·q₀·λ·dx · (–x)
(x²+0,15²)^(3/2)
dFₓ = dF·(–x/r) = k·q₀·λ·dx · (–x)
(x²+0,15²)^(3/2)
dFᵧ = dF·(0,15/r) = k·q₀·λ·dx · 0,15
(x²+0,15²)^(3/2)
(x²+0,15²)^(3/2)
Portanto:
Fₓ = ∫₀^{0,4} (–k q₀ λ x) dx / (x²+0,15²)^(3/2)
Fᵧ = ∫₀^{0,4} (k q₀ λ·0,15) dx / (x²+0,15²)^(3/2)
Fₓ = ∫₀^{0,4} (–k q₀ λ x) dx / (x²+0,15²)^(3/2)
Fᵧ = ∫₀^{0,4} (k q₀ λ·0,15) dx / (x²+0,15²)^(3/2)
Passo 4
Usamos integrais padrão:
∫ x dx/(x²+a²)^(3/2) = –1/√(x²+a²)
∫ dx/(x²+a²)^(3/2) = x/(a²√(x²+a²))
∫ x dx/(x²+a²)^(3/2) = –1/√(x²+a²)
∫ dx/(x²+a²)^(3/2) = x/(a²√(x²+a²))
Logo:
Fₓ = –k q₀ λ [ –1/√(x²+0,15²) ]₀^{0,4}
= k q₀ λ [1/√(0,15²) – 1/√(0,4²+0,15²)]
Fₓ = –k q₀ λ [ –1/√(x²+0,15²) ]₀^{0,4}
= k q₀ λ [1/√(0,15²) – 1/√(0,4²+0,15²)]
Fᵧ = k q₀ λ·0,15 [ x/(0,15²√(x²+0,15²)) ]₀^{0,4}
Substituindo k=8,99×10⁹ N·m²/C², q₀=1,0×10⁻⁶ C, λ=35×10⁻⁹ C/m:
Fₓ ≈ –1,36×10⁻³ N
Fᵧ ≈ +1,96×10⁻³ N
Fₓ ≈ –1,36×10⁻³ N
Fᵧ ≈ +1,96×10⁻³ N
Passo 5
Interpretando: Fₓ negativa significa que a força puxa para –x; Fᵧ positiva, empurra para +y.
Resposta
A força total sobre a carga em (0,0) é