Uma linha de carga com uma densidade uniforme de 35 nC / m encontra-se ao longo da linha y=-15 cm, entre os pontos com corrdenadas x=0 e x=40,0 cm. Encontre a força elétrica que atua numa carga de 1,0 mu C colocada na origem.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma linha carregada com densidade linear uniforme λ = 35 nC/m (ou seja λ = 35×10⁻⁹ C/m) estendida sobre a reta y = –0,15 m, do ponto x = 0 até x = 0,40 m. Queremos achar a força elétrica que essa “varinha de carga” faz numa carga de prova q₀ = 1,0 μC (ou seja 1,0×10⁻⁶ C) que está na origem (0,0).
Conteúdo: eletrostática (Lei de Coulomb e integração de uma distribuição contínua de carga). Vamos precisar:
  • A lei de Coulomb diferencial: dF = k·q₀·dQ / r²
  • Expressar dQ = λ dx
  • Montar a integral vetorial (componentes x e y)
  • Fazer as integrais, aplicar limites de 0 a 0,40 m

Passo 2

Primeiro, lembre da Lei de Coulomb para um elemento de carga dQ numa posição (x, –0,15):
dF = k·q₀·dQ


onde r = distância do elemento até a origem, r = √(x² + 0,15²).
E dQ = λ dx.
O vetor unitário vai de (x, –0,15) até (0,0), ou seja r = (–x, +0,15) e = (–x/r, 0,15/r).

Passo 3

Vamos separar em componentes:
dFₓ = dF·(–x/r) = k·q₀·λ·dx · (–x)
(x²+0,15²)^(3/2)
dFᵧ = dF·(0,15/r) = k·q₀·λ·dx · 0,15
(x²+0,15²)^(3/2)
Portanto:
Fₓ = ∫₀^{0,4} (–k q₀ λ x) dx / (x²+0,15²)^(3/2)
Fᵧ = ∫₀^{0,4} (k q₀ λ·0,15) dx / (x²+0,15²)^(3/2)

Passo 4

Usamos integrais padrão:
∫ x dx/(x²+a²)^(3/2) = –1/√(x²+a²)
∫ dx/(x²+a²)^(3/2) = x/(a²√(x²+a²))
Logo:
Fₓ = –k q₀ λ [ –1/√(x²+0,15²) ]₀^{0,4}
= k q₀ λ [1/√(0,15²) – 1/√(0,4²+0,15²)]
Fᵧ = k q₀ λ·0,15 [ x/(0,15²√(x²+0,15²)) ]₀^{0,4}
Substituindo k=8,99×10⁹ N·m²/C², q₀=1,0×10⁻⁶ C, λ=35×10⁻⁹ C/m:
Fₓ ≈ –1,36×10⁻³ N
Fᵧ ≈ +1,96×10⁻³ N

Passo 5

Interpretando: Fₓ negativa significa que a força puxa para –x; Fᵧ positiva, empurra para +y.

Resposta

A força total sobre a carga em (0,0) é
boxed vec F = (-1,36times10^-3,hatimath ;+;1,96times10^-3,hatjmath);N

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