Uma carga Q é distribuída sobre um fio semicircular com 5,0 cm de raio, de modo que a densidade linear de carga é 35 cos (theta2), em nC/m. Calcule a carga elétrica total desta linha de cargas.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um fio em forma de semicírculo de raio lambda(theta) = 35cos!l(tfractheta2r)(nC/m), . Sobre esse fio está distribuída uma densidade linear de carga
onde varia de 0 a (porque é meia volta).
Conteúdo: eletrostática básica – integração de densidade linear de carga.
O que vamos usar:
  1. Relação entre carga total e densidade linear: .
  2. A parametrização do arco em função de : .
  3. No final, cuidado com unidades (nC pra Coulomb, mas aqui podemos dar a resposta em nC mesmo).

Passo 2

Vamos montar a integral. A carga total Q = integralarco lambda(theta),ds = integral0^pi 35cos!l(tfractheta2r);l(R,dthetar) é
Q = 35,R;integral0^pi cos!l(tfractheta2r),dtheta
Como é constante, tira pra fora:

Passo 3

Agora, integra integral cos!l(tfractheta2r),dtheta = 2sin!l(tfractheta2r), . Lembra que
integral0^pi cos!l(tfractheta2r),dtheta = l[2sin!l(tfractheta2r)r]0^pi = 2l(sin(tfracpi2) - sin(0)r) = 2,(1 - 0) = 2
porque se você derivar , vem .
Então

Passo 4

Troca na expressão de Q = 35 times R times 2 = 35 times 0,05 times 2 = 35 times 0,1 = 3,5;nC :

Resposta

A carga elétrica total distribuída no semicírculo é
boxedQ = 3,5;nC

Exercícios relacionados