Um anel dado por y^2+z^2=4 e x=0 está carregado com uma distribuição uniforme de carga de 5 mu C / m.
(a) Determine D em P(3,0,0).
(b) Se duas cargas pontuais idênticas Q forem colocadas em (0,-3,0) e (0,3,0), nas proximidades do anel, determine o valor de Q tal que D=0 em P.

Passo 1

Beleza, então o enunciado é o seguinte: a gente tem um anel de raio 2 no plano yz (é o lugar definido por y^2+z^2=4 quando x=0), com uma densidade linear de carga lambda=5 muC/m, e queremos duas coisas:
(a) Calcular o vetor vec D no ponto P(3,0,0) (que fica no eixo x, a 3 m do centro do anel).
(b) Agora, se a gente colocar duas cargas pontuais iguais Q em (0,-3,0) e (0,3,0), qual deve ser o valor de Q para que a soma de vec D no ponto P fique zero?
Matérias e ferramentas que vamos usar:
  • Campo elétrico de um anel carregado ao longo do eixo (teoria de superposição).
  • Relação entre vec D e vec E no vácuo: vec D=varepsilon0,vec E.
  • Campo elétrico (ou vec D) de uma carga pontual.
  • Geometria do problema para extrair componentes vetoriais.

Passo 2

Teoria básica: no vácuo vale
vec E(vec r)=14pivarepsilon0integral lambda,dell;(vec r-vec r')|vec r-vec r'|^3, vec D(vec r)=varepsilon0,vec E(vec r);Longrightarrow; vec D(vec r)=integral lambda,dell;(vec r-vec r')4pi|vec r-vec r'|^3
No nosso caso do anel, por simetria só vai sobrar componente ao longo do eixo x. Para um anel de raio a com carga total Q=lambda,(2pi a), no ponto x do eixo:
Dx(x)=Q,x4pi,(x^2+a^2)^3/2
Aqui a=2,m e Q=lambda,(2pi a)=5times10^-6times(2picdot2)=20pitimes10^-6,C.
Como P=(3,0,0) temos x=3,m. Então
Dx,anel =20pitimes10^-6cdot34pil(3^2+2^2r)^3/2 =60pitimes10^-64pi,(13)^3/2 =60times10^-64,(13raiz13) approx3,21times10^-7;Cm^2
E como a direção é o eixo x positivo,
vec Danel(P)approx(3,21times10^-7), x;Cm^2

Passo 3

Agora as duas cargas pontuais Q em (0,-3,0) e (0,3,0). O vetor vec D de uma carga pontual Q em vec r' é
vec D(vec r) =Q4pi,vec r-vec r'|vec r-vec r'|^3
Para cada carga em relação a P(3,0,0), o vetor vec r-vec r' tem sempre componente x=3 e componente y=+3 (ou -3), mas essas y se cancelam quando somamos as duas. A distância é a mesma:
|vec r-vec r'| =raiz3^2+3^2 =3raiz2
O componente em x de cada uma é
Dx,cada Q =Q4pi,3(3raiz2)^3 =Q4pi,327cdot2raiz2 =Q4pi,118raiz2
Como são duas cargas, dobra:
Dx,2 Qs =2;Q4pi,118raiz2 =Q36piraiz2
E essa contribuição está no sentido x se Q>0.

Passo 4

Queremos vec Danel+vec D2Q=0 em P.
Ou seja, em componente x:
3,21times10^-7 +Q36piraiz2 =0
Logo
Q36piraiz2 =-3,21times10^-7 Longrightarrow Q=-3,21times10^-7,(36piraiz2)
Calculando:
36piraiz2approx36times3,1416times1,4142approx159,9,
Qapprox -3,21times10^-7times159,9 approx -5,13times10^-5;C =-51,3;muC

Resposta

(a) vec D(P)approx3,21times10^-7, x;C/m^2.
(b) Qapprox -51,3;muC, para anular vec D em P.

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