Determine a carga total:
Sobre um cilindro dado por p=3,0, se rhos=p^2 nC / m^2.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz: “Temos a superfície lateral de um cilindro de raio até rhos(p) = p^2 ;nC/m^2 ,m. A densidade superficial de carga (sigma) varia com Q = integral duplasuperf rhos ,dA assim:
dA = p,dphi,dz
O que a gente precisa usar aqui é cálculo de integral de superfície em coordenadas cilíndricas:
  • Fórmula geral da carga total:
  • Para a lateral de um cilindro em cilíndricas:

Passo 2

Agora começa a resolução de fato. Primeiro, como o raio rhos = p^2 = 3^2 = 9;nC/m^2 = 9times10^-9,C/m^2 é constante e vale m, a densidade fica
Logo é constante na superfície lateral.

Passo 3

Usamos a integral
Q = integralphi=0^2piintegralz=0^4 rhos,(p,dphi,dz)
Como Q = rhos,p integral0^2pidphi integral0^4dz = (9times10^-9)(3) l(2pir)l(4r) e são constantes, tiramos tudo da integral:

Passo 4

É só multiplicar:
Q = 9times10^-9times3times2pitimes4 = 216pitimes10^-9;C approx 6,79times10^-7;C

Resposta

A carga total na superfície lateral do cilindro é
boxedQ approx 6,8times10^-7;C

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