A linha
está carregada com
, enquanto o plano
está carregado com
. Determine a força sobre uma carga pontual de -5 mC localizada na origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos a força sobre uma carga pontual de -5 mC que está na origem. Para isso, temos duas fontes de carga que exercem essa força:
- Uma linha carregada localizada em $ x = 3 $ e $ z = -1 $ com densidade linear de carga de $ 20 , nC/m $.
- Um plano carregado localizado em $ x = -2 $ com densidade superficial de carga de $ 4 , nC/m^2 $.
Vamos usar conceitos de campo elétrico gerado por linhas e planos carregados e a Lei de Coulomb para calcular a força sobre a carga pontual.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o campo elétrico gerado pela linha carregada na origem. A fórmula para o campo elétrico devido a um fio longo e infinito com densidade linear de carga $ \lambda $ é:
Aqui, $ \varepsilon_0 $ é a constante de permissividade do vácuo ($ \varepsilon_0 \approx 8,85 \times 10^{-12} , C2/\text{N·m}2 $) e $ r $ é a distância perpendicular da linha à origem.
Vamos encontrar $ r $:
A linha está em $ x = 3 $ e $ z = -1 $. A origem está em $ (0,0,0) $. A distância $ r $ é a distância do ponto $ (0,0,0) $ até a linha $ x = 3, z = -1 $, que é:
Agora, substituindo os valores na fórmula:
Vamos calcular isso:
A direção do campo elétrico gerado por uma carga positiva sai do fio, então na direção radial a partir da linha $ x = 3, z = -1 $ até a origem.
Passo 3
Agora, vamos calcular o campo elétrico gerado pelo plano carregado na origem. Para um plano infinito com densidade superficial de carga $ \sigma $, o campo elétrico é dado por:
Substituindo os valores:
Como a densidade de carga $ \sigma $ é positiva, o campo elétrico aponta afastando-se do plano. Como o plano está em $ x = -2 $, o campo na origem estará na direção positiva do eixo $ x $.
Passo 4
Agora que temos os campos elétricos das duas fontes, vamos determinar a força total sobre a carga pontual $ q = -5 , mC = -5 \times 10^{-3} , C $.
A força elétrica é dada por:
Primeiro, analisamos o campo da linha carregada. Ele está na direção radial do fio para a origem. Calculamos sua magnitude $ \approx 113,34 , kN/C $ na direção de
.
O campo do plano carregado está na direção positiva do eixo $ x $ com magnitude $ \approx 226,48 , kN/C $.
Agora, somando os campos vetorialmente:
- Campo da linha: Direção da origem para o fio, que tem componentes nas direções $ x $ e $ z $.
- Campo do plano: Apenas na direção $ x $.
Vamos decompor o campo da linha:
O fio está em $ x = 3 $, $ z = -1 $. O ângulo $ \theta $ com o eixo $ x $ é dado por:
Componentes do $ E_{linha} $:
Agora, somamos os campos:
Como a carga $ q $ é negativa, a força será na direção oposta ao campo.
Calculando as componentes da força:
Resposta
A força total sobre a carga pontual de -5 mC na origem é aproximadamente $ \vec{F} = (-1{,}669 \times 10^{3} , N) , \hat{i} - 179{,}15 , N , \hat{k} $.