Determine a carga total:
Dentro de uma esfera com r=4 m, se rhov=10r sin theta C / m^3.

Passo 1

Beleza, então o que o exercício pede é a “carga total” dentro de uma esfera de raio rhov(r,theta);=;10rsinthetal[C/m^3r] , sabendo que a densidade volumétrica de carga é
dV ;=; r^2sintheta,dr,dtheta,dphi
Isso é matéria de Eletrostática: para achar a carga total a gente integra a densidade no volume. Como a densidade tá em função de e , usamos coordenadas esféricas. A gente vai precisar lembrar que o elemento de volume é
e que a carga infinitesimal é .

Passo 2

Vamos escrever dQ ;=;rhov(r,theta),dV =;10rsintheta;times;r^2sintheta,dr,dtheta,dphi em função das variáveis e simplificar:
dQ = 10,r,dr,dtheta,dphi
Repare que cancela e sobra um . Então

Passo 3

Agora integramos sobre toda a esfera:
Q = integralphi=0^2pi!!integraltheta=0^pi!!integralr=0^4 10,r;dr,dtheta,dphi
Como a integral de Q = 80 times pi times 2pi = 160,pi^2;C separa facinho, temos
Multiplicando tudo:

Resposta

boxedQ = 160,pi^2;C

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