Relacione a aceleração tangencial a_{t} com a aceleração angular \alpha de um ponto a uma distância r do eixo.

Passo 1

O enunciado pede para relacionar a aceleração tangencial a_{t} com a aceleração angular \alpha de um ponto que está a uma distância r do eixo de rotação.
Informações/restrições relevantes extraídas do enunciado:
  • Existe um ponto a uma distância r do eixo (assumir que r é constante, ou seja, o ponto está fixo em um corpo rígido que gira).
  • Quer-se a relação entre a componente tangencial da aceleração (aquela que é tangente à trajetória circular) e a aceleração angular \alpha (a taxa de variação da velocidade angular).
  • Nenhuma outra informação numérica foi dada.

Passo 2

Vamos definir com calma as grandezas envolvidas e suas unidades, para ficar tudo claro.
  • Seja \theta(t) o ângulo que o raio vetor do ponto faz com um referencial (em radianos). \theta é função do tempo t.
  • A velocidade angular \omega(t) é a derivada temporal de \theta:
\omega = \frac{d\theta}{dt}.
Unidade: \mathrm{rad/s}.
  • A aceleração angular \alpha(t) é a derivada temporal da velocidade angular:
\alpha = \frac{d\omega}{dt} = \frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}.
Unidade: \mathrm{rad/s^{2}}.
  • O comprimento do arco percorrido pelo ponto ao girar um ângulo \theta a uma distância r do eixo é
s = r\theta,
onde s tem unidades de comprimento (m), r tem unidades de comprimento (m) e \theta está em radianos (adimensional).

Passo 3

A partir de s = r\theta podemos obter a velocidade tangencial v do ponto derivando em relação ao tempo. Como r é assumido constante,
v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(r\theta) = r\,\frac{d\theta}{dt} = r\omega.
Então a velocidade tangencial (módulo) vale \;v = r\omega\;. Isso já é uma relação muito útil: velocidade linear = raio × velocidade angular.

Passo 4

Agora derivamos a velocidade tangencial para obter a aceleração tangencial a_{t}. Diferenciando v = r\omega em relação ao tempo, e lembrando que r é constante:
a_{t} = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(r\omega) = r\,\frac{d\omega}{dt} = r\alpha.
Portanto, a aceleração tangencial (módulo) é o produto do raio r pela aceleração angular \alpha.

Passo 5

Interpretação física e checagens rápidas:
  • Significado: \alpha diz o quanto a velocidade angular está mudando; multiplicando por r obtemos a taxa de variação da velocidade linear ao longo da tangente, que é a_{t}.
  • Unidades: \alpha em \mathrm{rad/s^{2}} vezes r em \mathrm{m} \mathrm{m/s^{2}}, consistente com aceleração.
  • Direção: a_{t} é tangencial à trajetória circular e tem sentido igual ao da variação de velocidade (se \alpha>0, a velocidade tangencial aumenta no sentido positivo).

Passo 6

Exemplo numérico simples para fixar (vai te dar confiança na prova): suponha r=0{,}5\\ \mathrm{m} e \alpha=2\\ \mathrm{rad/s^{2}}. Então
a_{t}=r\alpha=0{,}5\cdot 2 = 1{,}0\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 7

Observação sobre casos mais gerais: se r não for constante (por exemplo, se o ponto se move radialmente enquanto gira), a componente tangencial da aceleração passa a ser
a_{t} = r\alpha + 2\dot r\,\omega,
onde \dot r é a velocidade radial. No caso do enunciado, assumimos o caso mais comum em provas — ponto fixo em um corpo rígido — então \dot r=0 e a relação simples \;a_{t}=r\alpha\; vale.

Resposta

a_{t}=r\alpha

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