Relacione a aceleração tangencial
com a aceleração angular
de um ponto a uma distância
do eixo.
Passo 1
O enunciado pede para relacionar a aceleração tangencial
com a aceleração angular
de um ponto que está a uma distância
do eixo de rotação.
Informações/restrições relevantes extraídas do enunciado:
Informações/restrições relevantes extraídas do enunciado:
- Existe um ponto a uma distância
do eixo (assumir que é constante, ou seja, o ponto está fixo em um corpo rígido que gira). - Quer-se a relação entre a componente tangencial da aceleração (aquela que é tangente à trajetória circular) e a aceleração angular
(a taxa de variação da velocidade angular). - Nenhuma outra informação numérica foi dada.
Passo 2
Vamos definir com calma as grandezas envolvidas e suas unidades, para ficar tudo claro.
- Seja
o ângulo que o raio vetor do ponto faz com um referencial (em radianos). é função do tempo . - A velocidade angular
é a derivada temporal de :
Unidade:
.
- A aceleração angular
é a derivada temporal da velocidade angular:
Unidade:
.
- O comprimento do arco percorrido pelo ponto ao girar um ângulo
a uma distância do eixo é
onde
tem unidades de comprimento (m),
tem unidades de comprimento (m) e
está em radianos (adimensional).
Passo 3
A partir de
podemos obter a velocidade tangencial
do ponto derivando em relação ao tempo. Como
é assumido constante,
Então a velocidade tangencial (módulo) vale
. Isso já é uma relação muito útil: velocidade linear = raio × velocidade angular.
Passo 4
Agora derivamos a velocidade tangencial para obter a aceleração tangencial
. Diferenciando
em relação ao tempo, e lembrando que
é constante:
Portanto, a aceleração tangencial (módulo) é o produto do raio
pela aceleração angular
.
Passo 5
Interpretação física e checagens rápidas:
- Significado:
diz o quanto a velocidade angular está mudando; multiplicando por obtemos a taxa de variação da velocidade linear ao longo da tangente, que é . - Unidades:
em vezes em dá , consistente com aceleração. - Direção:
é tangencial à trajetória circular e tem sentido igual ao da variação de velocidade (se , a velocidade tangencial aumenta no sentido positivo).
Passo 6
Exemplo numérico simples para fixar (vai te dar confiança na prova): suponha
e
. Então
Passo 7
Observação sobre casos mais gerais: se
não for constante (por exemplo, se o ponto se move radialmente enquanto gira), a componente tangencial da aceleração passa a ser
onde
é a velocidade radial. No caso do enunciado, assumimos o caso mais comum em provas — ponto fixo em um corpo rígido — então
e a relação simples
vale.