Um disco de
e raio
parte do repouso e sofre uma aceleração angular constante de
. Calcule o trabalho realizado sobre o disco após
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- massa do disco:
. - raio do disco:
. - aceleração angular constante:
. - parte do repouso, logo velocidade angular inicial
. - intervalo de tempo considerado:
.
- massa do disco:
-
O que é pedido:
- calcular o trabalho realizado sobre o disco após
.
- calcular o trabalho realizado sobre o disco após
Passo 2
Plano de resolução (e conceitos necessários, explicados devagarinho).
- Conceito 1 — energia cinética rotacional: para um corpo rígido que gira em torno de um eixo fixo, a energia cinética rotacional é
onde:
-
é a energia cinética rotacional (unidade: ); -
é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação (unidade: ); -
é a velocidade angular (unidade: ). -
Conceito 2 — teorema trabalho-energia (rotacional): o trabalho total realizado sobre o corpo iguala a variação da sua energia cinética rotacional:
Como o disco parte do repouso,
, então
.
- Conceito 3 — momento de inércia de um disco sólido de raio
e massa em torno do eixo central:
Vou usar essas fórmulas e calcular
após
, depois
, e finalmente
.
Passo 3
Calcular a velocidade angular após
.
A equação cinemática para rotação com aceleração angular constante é
Substituindo
,
e
:
Passo 4
Calcular o momento de inércia do disco.
Usando
com
e
:
Calcule passo a passo:
Portanto
Passo 5
Preparar a expressão para o trabalho (energia cinética final) e calcular valores intermediários.
A energia cinética rotacional final é
Já temos
e
. Primeiro calcule
e
:
Assim a expressão fica
.
Passo 6
Interpretando o resultado com o teorema trabalho-energia.
Como o disco partiu do repouso,
. Pelo teorema trabalho-energia rotacional,
A etapa final da multiplicação será apresentada na resposta final abaixo.