Um disco de 2,0 \mathrm{~kg} e raio 0,5 \mathrm{~m} parte do repouso e sofre uma aceleração angular constante de 4,0 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2}. Calcule o trabalho realizado sobre o disco após 5,0 \mathrm{~s}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • massa do disco: m=2{,}0\\ \mathrm{kg}.
    • raio do disco: R=0{,}5\\ \mathrm{m}.
    • aceleração angular constante: \alpha=4{,}0\\ \mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-2}.
    • parte do repouso, logo velocidade angular inicial \omega_0=0.
    • intervalo de tempo considerado: t=5{,}0\\ \mathrm{s}.
  • O que é pedido:
    • calcular o trabalho realizado sobre o disco após 5{,}0\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Plano de resolução (e conceitos necessários, explicados devagarinho).
  • Conceito 1 — energia cinética rotacional: para um corpo rígido que gira em torno de um eixo fixo, a energia cinética rotacional é
K=\tfrac{1}{2}I\omega^{2},
onde:
  • K é a energia cinética rotacional (unidade: \mathrm{J});
  • I é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação (unidade: \mathrm{kg\cdot m^{2}});
  • \omega é a velocidade angular (unidade: \mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}).
  • Conceito 2 — teorema trabalho-energia (rotacional): o trabalho total realizado sobre o corpo iguala a variação da sua energia cinética rotacional:
W=\Delta K=K_{\text{final}}-K_{\text{inicial}}.
Como o disco parte do repouso, K_{\text{inicial}}=0, então W=K_{\text{final}}=\tfrac{1}{2}I\omega^{2}.
  • Conceito 3 — momento de inércia de um disco sólido de raio R e massa m em torno do eixo central:
I=\tfrac{1}{2}mR^{2}.
Vou usar essas fórmulas e calcular \omega após t, depois I, e finalmente W.

Passo 3

Calcular a velocidade angular após t=5{,}0\\ \mathrm{s}.
A equação cinemática para rotação com aceleração angular constante é
\omega=\omega_{0}+\alpha t.
Substituindo \omega_{0}=0, \alpha=4{,}0\\ \mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-2} e t=5{,}0\\ \mathrm{s}:
\omega = 0 + 4{,}0\cdot 5{,}0 = 20\\ \mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1}.

Passo 4

Calcular o momento de inércia do disco.
Usando I=\tfrac{1}{2}mR^{2} com m=2{,}0\\ \mathrm{kg} e R=0{,}5\\ \mathrm{m}:
I = \tfrac{1}{2}\cdot 2{,}0\cdot (0{,}5)^{2}.
Calcule passo a passo:
(0{,}5)^{2}=0{,}25, \qquad 2{,}0\cdot 0{,}25=0{,}50, \qquad \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}50 = 0{,}25.
Portanto
I = 0{,}25\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.

Passo 5

Preparar a expressão para o trabalho (energia cinética final) e calcular valores intermediários.
A energia cinética rotacional final é
K=\tfrac{1}{2}I\omega^{2}.
Já temos \omega=20\\ \mathrm{rad}\,\mathrm{s}^{-1} e I=0{,}25\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}. Primeiro calcule \omega^{2} e I\omega^{2}:
\omega^{2} = (20)^{2} = 400, \qquad I\omega^{2} = 0{,}25 \times 400 = 100.
Assim a expressão fica K=\tfrac{1}{2}\times 100.

Passo 6

Interpretando o resultado com o teorema trabalho-energia.
Como o disco partiu do repouso, K_{\text{inicial}}=0. Pelo teorema trabalho-energia rotacional,
W=\Delta K = K_{\text{final}}-0 = K_{\text{final}} = \tfrac{1}{2}\times 100.
A etapa final da multiplicação será apresentada na resposta final abaixo.

Resposta

\;50\\ \mathrm{J}

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