Um anel fino de raio R=10 \mathrm{~cm} possui uma carga total Q=+2,0 \mu \mathrm{C} uniformemente distribuída. ( \varepsilon_{0}=8,85 \times 10^{-12} C^{2} / N m^{2} )
Qual seria o campo no mesmo ponto se, em vez do anel, tivéssemos um disco de mesmo raio R e mesma densidade superficial de carga \sigma (considerando que a carga total Q está agora distribuída sobre a área do disco)?

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que a questão pede e o que foi dado):
  • Um anel fino de raio R=10\\ \mathrm{cm}=0{,}10\\ \mathrm{m} tem carga total Q=+2{,}0\\ \mu\mathrm{C}=2{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C} uniformemente distribuída.
  • Constante do meio: \varepsilon_{0}=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}/(N\;m^{2})}.
  • A pergunta: qual seria o campo elétrico no mesmo ponto se, em vez do anel, tivéssemos um disco de mesmo raio R e com densidade superficial de carga \sigma (isto é, agora a carga Q está distribuída uniformemente sobre a área do disco)?
  • Observação que o enunciado implica comparar o campo no mesmo ponto geométrico onde se avalia o campo do anel (isto é, o centro do anel/disco).

Passo 2

Entender qual é o ponto: o “mesmo ponto” é o centro do anel/disco (o ponto no plano do anel, equidistante de toda a carga do anel).
Explicação física rápida do caso do anel (sem cálculo): por simetria, todas as contribuições de campo no plano do anel, vindas dos elementos de carga ao redor do círculo, têm componentes radiais que se cancelam mutuamente no centro. Portanto o campo elétrico resultante gerado por um anel uniformemente carregado, no seu centro, é nulo:
\text{campo do anel no centro} = 0.
(Isto só usa simetria: não há componente preferencial, então o vetor soma é zero.)

Passo 3

Escolha do método para o disco e ideia geral: decompor o disco em anéis concêntricos (cada anel tem carga conhecida) e somar (integrar) a contribuição axial de cada anel no ponto sobre o eixo (no centro do disco, mas faremos a integral para um ponto a uma distância z do plano e depois tomaremos z\to0). Esse é o método padrão e relativamente direto.
Definições e variáveis usadas:
  • r = raio de um anel elementar dentro do disco (variável de integração).
  • dr = espessura radial do anel elementar.
  • z = distância do ponto considerado ao plano do disco ao longo do eixo perpendicular (primeiro fazemos geral em z e depois z\to0).
  • \sigma = densidade superficial de carga do disco; definida por \sigma=\dfrac{Q}{\pi R^{2}}.
  • dQ = carga do anel elementar de raio r e largura dr: dQ=\sigma\cdot (área do anel) =\sigma\cdot 2\pi r\,dr.
  • A contribuição axial do anel de raio r ao campo num ponto sobre o eixo a distância z é, pela fórmula do campo de um anel,
dE_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{dQ\cdot z}{\left(r^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}.
Aqui a única componente que sobra é a componente ao longo do eixo ( z), pois as componentes radiais se cancelam por simetria.

Passo 4

Montar e calcular a integral para E_z(z).
Substituindo dQ=\sigma\,2\pi r\,dr em dE_z:
dE_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{\sigma\,2\pi r\,dr\cdot z}{\left(r^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}.
Simplificando os fatores constantes:
dE_z=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\cdot\frac{r z\,dr}{\left(r^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}.
Agora integramos r de 0 até R para obter o campo total ao longo do eixo:
E_z(z)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\int_{0}^{R}\frac{r z\,dr}{\left(r^{2}+z^{2}\right)^{3/2}}.
Calculando a integral. Fazemos a substituição u=r^{2}+z^{2}, então du=2r\,dr e r\,dr=\tfrac{1}{2}\,du. Quando r=0 temos u=z^{2}; quando r=R temos u=R^{2}+z^{2}. Assim
\int_{0}^{R}\frac{r z\,dr}{\left(r^{2}+z^{2}\right)^{3/2}} = z\int_{u=z^{2}}^{u=R^{2}+z^{2}}\frac{1}{2}\,u^{-3/2}\,du.
Integramos u^{-3/2}:
\int u^{-3/2}\,du = -2\,u^{-1/2}.
Portanto
\int_{0}^{R}\frac{r z\,dr}{\left(r^{2}+z^{2}\right)^{3/2}} = \frac{z}{2}\left[-2\,u^{-1/2}\right]_{u=z^{2}}^{u=R^{2}+z^{2}} = -z\left[(R^{2}+z^{2})^{-1/2}-z^{-1}\right].
Rearranjando:
\int_{0}^{R}\frac{r z\,dr}{\left(r^{2}+z^{2}\right)^{3/2}} = 1 - \frac{z}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}.
Substituindo de volta em E_z(z):
E_z(z)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\left(1-\frac{z}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}\right).
Essa é a expressão padrão do campo axial de um disco uniformemente carregado a uma distância z do plano do disco.

Passo 5

Avaliar o campo no ponto pedido (o centro do disco, que está no plano do disco). Isso corresponde a tomar o limite z\to0^{+} (apontando para o lado de interesse); usando a fórmula:
E_z(0)=\lim_{z\to0}\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\left(1-\frac{z}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}\right)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}\left(1-0\right)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}}.
Interpretação física rápida: o campo imediatamente fora de um disco finito, no seu eixo e no plano do disco, vale \sigma/(2\varepsilon_{0}). Para uma placa infinita o valor seria \sigma/\varepsilon_{0} de um lado para o outro; para uma superfície finita a expressão completa depende de R e z, mas no limite z\to0 fica \sigma/(2\varepsilon_{0}).

Passo 6

Calcular numericamente \sigma e E.
Densidade superficial \sigma:
\sigma=\frac{Q}{\pi R^{2}} =\frac{2{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}}{\pi\,(0{,}10\\ \mathrm{m})^{2}} =\frac{2{,}0\times10^{-6}}{\pi\times0{,}01} =\frac{2{,}0\times10^{-6}}{0{,}0314159\ldots} \approx 6{,}366\times10^{-5}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
Campo no centro do disco:
E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_{0}} =\frac{6{,}366\times10^{-5}}{2\times8{,}85\times10^{-12}} \approx 3{,}60\times10^{6}\\ \mathrm{N/C}.
Direção: como Q>0, o campo aponta para fora do disco, ao longo do eixo perpendicular, ou seja, em direção oposta ao plano do disco (afastando cargas positivas).

Resposta

Campo do anel no centro: 0\\ \mathrm{N/C}
Campo do disco no mesmo ponto (centro, imediatamente fora do plano): 3{,}60\times10^{6}\\ \mathrm{N/C}, apontando perpendicularmente para fora do disco (afastando-se da superfície).

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