Um anel fino de raio
possui uma carga total
uniformemente distribuída. (
)
Qual seria o campo no mesmo ponto se, em vez do anel, tivéssemos um disco de mesmo raio
e mesma densidade superficial de carga
(considerando que a carga total Q está agora distribuída sobre a área do disco)?
Qual seria o campo no mesmo ponto se, em vez do anel, tivéssemos um disco de mesmo raio
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (o que a questão pede e o que foi dado):
- Um anel fino de raio
tem carga total uniformemente distribuída. - Constante do meio:
. - A pergunta: qual seria o campo elétrico no mesmo ponto se, em vez do anel, tivéssemos um disco de mesmo raio
e com densidade superficial de carga (isto é, agora a carga está distribuída uniformemente sobre a área do disco)? - Observação que o enunciado implica comparar o campo no mesmo ponto geométrico onde se avalia o campo do anel (isto é, o centro do anel/disco).
Passo 2
Entender qual é o ponto: o “mesmo ponto” é o centro do anel/disco (o ponto no plano do anel, equidistante de toda a carga do anel).
Explicação física rápida do caso do anel (sem cálculo): por simetria, todas as contribuições de campo no plano do anel, vindas dos elementos de carga ao redor do círculo, têm componentes radiais que se cancelam mutuamente no centro. Portanto o campo elétrico resultante gerado por um anel uniformemente carregado, no seu centro, é nulo:
Explicação física rápida do caso do anel (sem cálculo): por simetria, todas as contribuições de campo no plano do anel, vindas dos elementos de carga ao redor do círculo, têm componentes radiais que se cancelam mutuamente no centro. Portanto o campo elétrico resultante gerado por um anel uniformemente carregado, no seu centro, é nulo:
(Isto só usa simetria: não há componente preferencial, então o vetor soma é zero.)
Passo 3
Escolha do método para o disco e ideia geral: decompor o disco em anéis concêntricos (cada anel tem carga conhecida) e somar (integrar) a contribuição axial de cada anel no ponto sobre o eixo (no centro do disco, mas faremos a integral para um ponto a uma distância
do plano e depois tomaremos
). Esse é o método padrão e relativamente direto.
Definições e variáveis usadas:
-
= raio de um anel elementar dentro do disco (variável de integração). -
= espessura radial do anel elementar. -
= distância do ponto considerado ao plano do disco ao longo do eixo perpendicular (primeiro fazemos geral em e depois ). -
= densidade superficial de carga do disco; definida por . -
= carga do anel elementar de raio e largura : (área do anel) . - A contribuição axial do anel de raio
ao campo num ponto sobre o eixo a distância é, pela fórmula do campo de um anel,
Aqui a única componente que sobra é a componente ao longo do eixo (
), pois as componentes radiais se cancelam por simetria.
Passo 4
Montar e calcular a integral para
.
Substituindo
em
:
Simplificando os fatores constantes:
Agora integramos
de
até
para obter o campo total ao longo do eixo:
Calculando a integral. Fazemos a substituição
, então
e
. Quando
temos
; quando
temos
. Assim
Integramos
:
Portanto
Rearranjando:
Substituindo de volta em
:
Essa é a expressão padrão do campo axial de um disco uniformemente carregado a uma distância
do plano do disco.
Passo 5
Avaliar o campo no ponto pedido (o centro do disco, que está no plano do disco). Isso corresponde a tomar o limite
(apontando para o lado de interesse); usando a fórmula:
Interpretação física rápida: o campo imediatamente fora de um disco finito, no seu eixo e no plano do disco, vale
. Para uma placa infinita o valor seria
de um lado para o outro; para uma superfície finita a expressão completa depende de
e
, mas no limite
fica
.
Passo 6
Calcular numericamente
e
.
Densidade superficial
:
Campo no centro do disco:
Direção: como
, o campo aponta para fora do disco, ao longo do eixo perpendicular, ou seja, em direção oposta ao plano do disco (afastando cargas positivas).
Resposta
Campo do anel no centro:
Campo do disco no mesmo ponto (centro, imediatamente fora do plano): , apontando perpendicularmente para fora do disco (afastando-se da superfície).
Campo do disco no mesmo ponto (centro, imediatamente fora do plano):