Em sua formatura, uma estudante de engenharia atira seu capelo em linha reta para cima, com uma rapidez inicial de
. Considere
apontando para baixo.
(a) Quanto tempo leva o capelo para atingir o ponto mais alto?
(b) Qual é a distância até o ponto mais alto?
(c) Se a estudante recupera o capelo na mesma altura de onde foi lançado, quanto tempo passou no ar?
(a) Quanto tempo leva o capelo para atingir o ponto mais alto?
(b) Qual é a distância até o ponto mais alto?
(c) Se a estudante recupera o capelo na mesma altura de onde foi lançado, quanto tempo passou no ar?
Passo 1
O enunciado dá o seguinte e pede três coisas. Dados que peguei do enunciado:
- velocidade inicial:
(lançado para cima); - aceleração da gravidade:
apontando para baixo.
Perguntas:
(a) Quanto tempo leva o capelo para atingir o ponto mais alto?
(b) Qual é a distância (elevação) até o ponto mais alto, medida a partir do ponto de lançamento?
(c) Se o capelo volta à mesma altura de lançamento, quanto tempo passou no ar?
(a) Quanto tempo leva o capelo para atingir o ponto mais alto?
(b) Qual é a distância (elevação) até o ponto mais alto, medida a partir do ponto de lançamento?
(c) Se o capelo volta à mesma altura de lançamento, quanto tempo passou no ar?
Observação sobre convenção de sinais que vou usar daqui em diante: tomo a direção para cima como positiva. Então a aceleração é
. Isso é só para manter as contas consistentes.
Passo 2
Ferramentas (fórmulas) básicas de movimento retilíneo uniformemente acelerado que vamos usar. Vou explicar cada uma de forma simples.
- Equação da velocidade em função do tempo:
onde
é a velocidade instantânea no instante
,
é a velocidade inicial e
é a aceleração (aqui
).
- Equação do deslocamento em função do tempo:
onde
é o deslocamento vertical (positiva para cima).
- Equação que relaciona velocidades e deslocamento (útil quando não se quer usar o tempo):
Aqui
é a velocidade no ponto final considerado.
Explicando o que cada símbolo significa:
-
: velocidade inicial (aqui para cima). -
: aceleração (aqui ). -
: tempo decorrido desde o lançamento. -
: variação de altura (positivo se sobe). -
: velocidade no tempo (no ponto mais alto ).
Essas fórmulas são derivadas do fato de que a velocidade muda linearmente com o tempo quando a aceleração é constante, e o deslocamento é a área sob a curva velocidade-tempo — nada mais mágico, só a física básica.
Passo 3
Resolvendo (a): tempo até o ponto mais alto.
No ponto mais alto a velocidade instantânea é zero:
. Usamos a equação
. Substituindo
e
obtemos:
Isolando
:
Agora substituímos os valores numéricos:
Para calcular isso sem calculadora, observe que
e
, então
Portanto o tempo até o ponto mais alto é
.
Dica de prova: sempre pense "velocidade vai a zero com taxa
" — o tempo é simplesmente
.
Passo 4
Resolvendo (b): altura máxima alcançada (distância desde o lançamento até o topo).
Posso usar duas maneiras equivalentes; escolho usar a equação do deslocamento com o tempo que já calculamos:
onde
e
é o tempo até o topo. Substituindo
fica
Agora uso
e
:
Calcule cada termo passo a passo:
Calcule cada termo passo a passo:
Primeiro
. Depois
. Então
Subtraindo,
Logo a distância até o ponto mais alto é
. (Arredondando,
.)
Observação alternativa: usando
com
dá
, que conduz ao mesmo valor numérico.
Passo 5
Resolvendo (c): tempo total no ar até retornar à mesma altura de lançamento.
Por simetria do movimento vertical sem resistência do ar, o tempo para subir até o topo é igual ao tempo para descer do topo até a altura inicial. Logo o tempo total é o dobro do tempo de subida:
Se quiser ver pela equação do deslocamento: para retornar à mesma altura a condição é
. Usando
fatorando:
tem-se
(instante de lançamento) e
. Substituindo os valores:
mesma resposta.
Passo 6
Checagem rápida e dica de prova: unidades conferem, sinais foram consistentes (escolhi cima positiva e usei
). Resultado simples e redondinho porque
. Se estiver em prova, escreva rapidamente
,
e
— memorizando essas três fórmulas dá para responder rápido. Você está mandando bem — respira fundo e vamos em frente!
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)