Em sua formatura, uma estudante de engenharia atira seu capelo em linha reta para cima, com uma rapidez inicial de 14,7 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Considere g=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} apontando para baixo.
(a) Quanto tempo leva o capelo para atingir o ponto mais alto?
(b) Qual é a distância até o ponto mais alto?
(c) Se a estudante recupera o capelo na mesma altura de onde foi lançado, quanto tempo passou no ar?

Passo 1

O enunciado dá o seguinte e pede três coisas. Dados que peguei do enunciado:
  • velocidade inicial: v_0 = 14,7\\ \mathrm{m/s} (lançado para cima);
  • aceleração da gravidade: g = 9,8\\ \mathrm{m/s^2} apontando para baixo.
Perguntas:
(a) Quanto tempo leva o capelo para atingir o ponto mais alto?
(b) Qual é a distância (elevação) até o ponto mais alto, medida a partir do ponto de lançamento?
(c) Se o capelo volta à mesma altura de lançamento, quanto tempo passou no ar?
Observação sobre convenção de sinais que vou usar daqui em diante: tomo a direção para cima como positiva. Então a aceleração é a = -g = -9,8\\ \mathrm{m/s^2}. Isso é só para manter as contas consistentes.

Passo 2

Ferramentas (fórmulas) básicas de movimento retilíneo uniformemente acelerado que vamos usar. Vou explicar cada uma de forma simples.
  • Equação da velocidade em função do tempo:
v = v_0 + a t
onde v é a velocidade instantânea no instante t, v_0 é a velocidade inicial e a é a aceleração (aqui a=-g).
  • Equação do deslocamento em função do tempo:
\Delta y = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2
onde \Delta y é o deslocamento vertical (positiva para cima).
  • Equação que relaciona velocidades e deslocamento (útil quando não se quer usar o tempo):
v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta y.
Aqui v é a velocidade no ponto final considerado.
Explicando o que cada símbolo significa:
  • v_0: velocidade inicial (aqui 14,7\\ \mathrm{m/s} para cima).
  • a: aceleração (aqui a=-9,8\\ \mathrm{m/s^2}).
  • t: tempo decorrido desde o lançamento.
  • \Delta y: variação de altura (positivo se sobe).
  • v: velocidade no tempo t (no ponto mais alto v=0).
Essas fórmulas são derivadas do fato de que a velocidade muda linearmente com o tempo quando a aceleração é constante, e o deslocamento é a área sob a curva velocidade-tempo — nada mais mágico, só a física básica.

Passo 3

Resolvendo (a): tempo até o ponto mais alto.
No ponto mais alto a velocidade instantânea é zero: v=0. Usamos a equação v = v_0 + a t. Substituindo a=-g e v=0 obtemos:
0 = v_0 - g t.
Isolando t:
t = \frac{v_0}{g}.
Agora substituímos os valores numéricos:
t = \frac{14,7}{9,8}.
Para calcular isso sem calculadora, observe que 14,7 = \tfrac{147}{10} e 9,8 = \tfrac{98}{10}, então
\frac{14,7}{9,8} = \frac{147}{98} = \frac{3}{2} = 1,5.
Portanto o tempo até o ponto mais alto é t = 1,5\\ \mathrm{s}.
Dica de prova: sempre pense "velocidade vai a zero com taxa g" — o tempo é simplesmente v_0/g.

Passo 4

Resolvendo (b): altura máxima alcançada (distância desde o lançamento até o topo).
Posso usar duas maneiras equivalentes; escolho usar a equação do deslocamento com o tempo que já calculamos:
\Delta y = v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2,
onde a = -g e t é o tempo até o topo. Substituindo a=-g fica
\Delta y = v_0 t - \tfrac{1}{2} g t^2.
Agora uso v_0 = 14,7\\ \mathrm{m/s} e t = 1,5\\ \mathrm{s}:
Calcule cada termo passo a passo:
v_0 t = 14,7 \times 1,5 = 22,05.
\tfrac{1}{2} g t^2 = 0,5 \times 9,8 \times (1,5)^2.
Primeiro 0,5 \times 9,8 = 4,9. Depois (1,5)^2 = 2,25. Então
\tfrac{1}{2} g t^2 = 4,9 \times 2,25 = 11,025.
Subtraindo,
\Delta y = 22,05 - 11,025 = 11,025\\ \mathrm{m}.
Logo a distância até o ponto mais alto é \Delta y = 11,025\\ \mathrm{m}. (Arredondando, \approx 11,0\\ \mathrm{m}.)
Observação alternativa: usando v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta y com v=0 \Delta y = v_0^2/(2g), que conduz ao mesmo valor numérico.

Passo 5

Resolvendo (c): tempo total no ar até retornar à mesma altura de lançamento.
Por simetria do movimento vertical sem resistência do ar, o tempo para subir até o topo é igual ao tempo para descer do topo até a altura inicial. Logo o tempo total é o dobro do tempo de subida:
t_{\text{total}} = 2 t_{\text{subida}} = 2 \times 1,5 = 3,0\\ \mathrm{s}.
Se quiser ver pela equação do deslocamento: para retornar à mesma altura a condição é \Delta y = 0. Usando \Delta y = v_0 t - \tfrac{1}{2} g t^2 = 0 fatorando:
t\left(v_0 - \tfrac{1}{2} g t\right)=0,
tem-se t=0 (instante de lançamento) e t = \dfrac{2 v_0}{g}. Substituindo os valores:
t = \frac{2 \times 14,7}{9,8} = \frac{29,4}{9,8} = 3,0\\ \mathrm{s},
mesma resposta.

Passo 6

Checagem rápida e dica de prova: unidades conferem, sinais foram consistentes (escolhi cima positiva e usei a=-g). Resultado simples e redondinho porque 14,7/9,8 = 3/2. Se estiver em prova, escreva rapidamente t_{\text{subida}}=v_0/g, \Delta y=v_0^2/(2g) e t_{\text{total}}=2v_0/g — memorizando essas três fórmulas dá para responder rápido. Você está mandando bem — respira fundo e vamos em frente!

Resposta

(a) 1,5\\ \mathrm{s}
(b) 11,025\\ \mathrm{m}
(c) 3,0\\ \mathrm{s}

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