Três cargas estão fixas nos vértices de um triângulo retângulo isósceles de catetos a=4,0 \mathrm{~cm}, coincidentes com os eixos x e y . As cargas são: q_{1}=+2,0 \mathrm{nC} no vértice do ângulo reto (origem), q_{2}=-2,0 \mathrm{nC} em ( \mathrm{a}, 0 ) e q_{3}=+2,0 \mathrm{nC} em ( 0, \mathrm{a} ). Determine o vetor campo elétrico resultante no ponto P=(a, a), ponto oposto ao vértice do ângulo reto.
Construa uma figura/diagrama mostrando a situação descrita. Determinar o vetor segnifica expressar módulo, direção e sentido - utilize os vetores unitários porque a representação fica mais simples: não será necessário calcular inclinação. ( \varepsilon_{0}=8,85 \times 10^{-12} \mathrm{C}^{2} / \mathrm{Nm}^{2} )
Passo 1
O enunciado pede o campo elétrico resultante no ponto P=(a,a) gerado por três cargas fixas nos vértices de um triângulo retângulo isósceles de catetos a. Dados fornecidos:
a=4,0\\ \text{cm}=0,04\\ \text{m}.
q_{1}=+2,0\\ \text{nC}=+2{,}0\times10^{-9}\\ \text{C} em (0,0) (origem, vértice do ângulo reto).
q_{2}=-2,0\\ \text{nC}= -2{,}0\times10^{-9}\\ \text{C} em (a,0).
q_{3}=+2,0\\ \text{nC}=+2{,}0\times10^{-9}\\ \text{C} em (0,a).
Constante do meio: \varepsilon_{0}=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}/(N\cdot m^{2})}.
O que é pedido explicitamente:
Determinar o vetor campo elétrico resultante em P=(a,a): módulo, direção e sentido.
Representar o vetor utilizando vetores unitários \hat{\imath} e \hat{\jmath}.
Passo 2
Esquema/diagrama (posição das cargas e do ponto P; é uma representação textual simples):
Eixos: x para a direita, y para cima.
Cargas:
q_{1}=+2{,}0\\ \text{nC} em (0,0).
q_{2}=-2{,}0\\ \text{nC} em (a,0).
q_{3}=+2{,}0\\ \text{nC} em (0,a).
Ponto onde se quer o campo: P=(a,a), o vértice oposto ao ângulo reto.
Usarei o valor mais preciso obtido pelo cálculo manual: k\,\dfrac{1\times10^{-9}}{a^{2}}\approx5617{,}3\\ \mathrm{N/C}. (pequenas diferenças de arredondamento não mudam o sentido físico)
Passo 9
Calcular E_{x} e E_{y} numericamente:
Usando as expressões dos passos anteriores e q_{1}=+2{,}0\times10^{-9}, q_{2}=-2{,}0\times10^{-9}, q_{3}=+2{,}0\times10^{-9}:
Primeiro note que k\dfrac{q_{1}}{2\sqrt{2}a^{2}} = \left(k\dfrac{1\times10^{-9}}{a^{2}}\right)\cdot\dfrac{q_{1}/(1\times10^{-9})}{2\sqrt{2}}
=5617{,}3\cdot\dfrac{2}{2\sqrt{2}}=5617{,}3\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}.