Três cargas estão fixas nos vértices de um triângulo retângulo isósceles de catetos a=4,0 \mathrm{~cm}, coincidentes com os eixos x e y . As cargas são: q_{1}=+2,0 \mathrm{nC} no vértice do ângulo reto (origem), q_{2}=-2,0 \mathrm{nC} em ( \mathrm{a}, 0 ) e q_{3}=+2,0 \mathrm{nC} em ( 0, \mathrm{a} ). Determine o vetor campo elétrico resultante no ponto P=(a, a), ponto oposto ao vértice do ângulo reto.
Construa uma figura/diagrama mostrando a situação descrita. Determinar o vetor segnifica expressar módulo, direção e sentido - utilize os vetores unitários porque a representação fica mais simples: não será necessário calcular inclinação. ( \varepsilon_{0}=8,85 \times 10^{-12} \mathrm{C}^{2} / \mathrm{Nm}^{2} )

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico resultante no ponto P=(a,a) gerado por três cargas fixas nos vértices de um triângulo retângulo isósceles de catetos a. Dados fornecidos:
  • a=4,0\\ \text{cm}=0,04\\ \text{m}.
  • q_{1}=+2,0\\ \text{nC}=+2{,}0\times10^{-9}\\ \text{C} em (0,0) (origem, vértice do ângulo reto).
  • q_{2}=-2,0\\ \text{nC}= -2{,}0\times10^{-9}\\ \text{C} em (a,0).
  • q_{3}=+2,0\\ \text{nC}=+2{,}0\times10^{-9}\\ \text{C} em (0,a).
  • Constante do meio: \varepsilon_{0}=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{C^{2}/(N\cdot m^{2})}.
O que é pedido explicitamente:
  • Determinar o vetor campo elétrico resultante em P=(a,a): módulo, direção e sentido.
  • Representar o vetor utilizando vetores unitários \hat{\imath} e \hat{\jmath}.

Passo 2

Esquema/diagrama (posição das cargas e do ponto P; é uma representação textual simples):
  • Eixos: x para a direita, y para cima.
  • Cargas:
    • q_{1}=+2{,}0\\ \text{nC} em (0,0).
    • q_{2}=-2{,}0\\ \text{nC} em (a,0).
    • q_{3}=+2{,}0\\ \text{nC} em (0,a).
  • Ponto onde se quer o campo: P=(a,a), o vértice oposto ao ângulo reto.
Diagrama ASCII (vista grosseira):
(0,a) q3(+) ● P(a,a)
| |
| |
(0,0) q1(+) — (a,0) q2(-)
Observação: P está diretamente acima de q_{2} e diretamente à direita de q_{3}.

Passo 3

Fórmula que vamos usar (lei de Coulomb para campo elétrico de carga pontual):
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{q}{r^{2}}\\ \hat{r},
onde:
  • q é a carga fonte (em coulombs),
  • r é a distância do ponto fonte até o ponto onde se calcula o campo (em metros),
  • \hat{r} é o versor (vetor unitário) apontando da carga até o ponto de campo,
  • \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}} é a constante k.
Vamos calcular o campo resultante como soma vetorial das contribuições de q_{1},q_{2},q_{3}:
\mathbf{E}=\mathbf{E}_{1}+\mathbf{E}_{2}+\mathbf{E}_{3}.

Passo 4

Calcular a constante k:
k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\approx\dfrac{1}{4\pi\cdot8{,}85\times10^{-12}}\approx8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.

Passo 5

Determinar vetores posição e distâncias das cargas até P:
  1. Para q_{1} em (0,0):
  • Vetor de q_{1} para P: \mathbf{r}_{1\to P}=(a,a).
  • Distância: |\mathbf{r}_{1\to P}|=a\sqrt{2}.
  • Versor:
\hat{r}_{1}=\dfrac{(a,a)}{a\sqrt{2}}=\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right).
  1. Para q_{2} em (a,0):
  • Vetor de q_{2} para P: \mathbf{r}_{2\to P}=(0,a).
  • Distância: |\mathbf{r}_{2\to P}|=a.
  • Versor:
\hat{r}_{2}=(0,1)=\hat{\jmath}.
  1. Para q_{3} em (0,a):
  • Vetor de q_{3} para P: \mathbf{r}_{3\to P}=(a,0).
  • Distância: |\mathbf{r}_{3\to P}|=a.
  • Versor:
\hat{r}_{3}=(1,0)=\hat{\imath}.

Passo 6

Expressar cada contribuição vetorial usando a fórmula:
  1. Campo devido a q_{1}:
\mathbf{E}_{1}=k\,\dfrac{q_{1}}{(a\sqrt{2})^{2}}\;\hat{r}_{1} = k\,\dfrac{q_{1}}{2a^{2}}\;\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\hat{\imath}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\hat{\jmath}\right) = k\,\dfrac{q_{1}}{2\sqrt{2}\,a^{2}}\;(\hat{\imath}+\hat{\jmath}).
  1. Campo devido a q_{2}:
\mathbf{E}_{2}=k\,\dfrac{q_{2}}{a^{2}}\;\hat{r}_{2} = k\,\dfrac{q_{2}}{a^{2}}\;\hat{\jmath}.
Observação: q_{2} é negativa, então q_{2}<0 fará \mathbf{E}_{2} apontar para baixo (componente negativa em \hat{\jmath}).
  1. Campo devido a q_{3}:
\mathbf{E}_{3}=k\,\dfrac{q_{3}}{a^{2}}\;\hat{r}_{3} = k\,\dfrac{q_{3}}{a^{2}}\;\hat{\imath}.

Passo 7

Somar componentes x e y. Primeiro vamos colocar todos os termos na forma \hat{\imath} e \hat{\jmath}:
  • Componente x:
E_{x}= \underbrace{k\,\dfrac{q_{1}}{2\sqrt{2}\,a^{2}}}_{\text{de }E_{1,x}} \;+\; \underbrace{k\,\dfrac{q_{3}}{a^{2}}}_{\text{de }E_{3,x}}.
  • Componente y:
E_{y}= \underbrace{k\,\dfrac{q_{1}}{2\sqrt{2}\,a^{2}}}_{\text{de }E_{1,y}} \;+\; \underbrace{k\,\dfrac{q_{2}}{a^{2}}}_{\text{de }E_{2,y}}.
Agora factoramos k/(a^{2}) e substituímos os valores numéricos de q_{1},q_{2},q_{3}:
q_{1}=+2{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C},\qquad q_{2}=-2{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C},\qquad q_{3}=+2{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C}.
Defina o fator comum
F\equiv k\,\dfrac{1\times10^{-9}}{a^{2}},
de modo que k\,\dfrac{q_{i}}{a^{2}} = F\times(q_{i}/10^{-9}). Mas é mais direto calcular numericamen­te em seguida.

Passo 8

Calcular numericamente o fator k\,\dfrac{1\times10^{-9}}{a^{2}}:
  • k\approx8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.
  • a=0{,}04\\ \mathrm{m}\Rightarrow a^{2}=0{,}04^{2}=0{,}0016\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Então
k\,\dfrac{1\times10^{-9}}{a^{2}} \approx 8{,}99\times10^{9}\cdot\dfrac{1\times10^{-9}}{0{,}0016} =8{,}99\times\dfrac{1}{0{,}0016} \approx8{,}99\times625=5618\\ (\text{N/C})\\ (\text{aprox.}).
Usarei o valor mais preciso obtido pelo cálculo manual: k\,\dfrac{1\times10^{-9}}{a^{2}}\approx5617{,}3\\ \mathrm{N/C}. (pequenas diferenças de arredondamento não mudam o sentido físico)

Passo 9

Calcular E_{x} e E_{y} numericamente:
Usando as expressões dos passos anteriores e q_{1}=+2{,}0\times10^{-9}, q_{2}=-2{,}0\times10^{-9}, q_{3}=+2{,}0\times10^{-9}:
Primeiro note que k\dfrac{q_{1}}{2\sqrt{2}a^{2}} = \left(k\dfrac{1\times10^{-9}}{a^{2}}\right)\cdot\dfrac{q_{1}/(1\times10^{-9})}{2\sqrt{2}} =5617{,}3\cdot\dfrac{2}{2\sqrt{2}}=5617{,}3\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}.
Assim:
E_{1,x}=E_{1,y}=5617{,}3\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\ \mathrm{N/C}.
E_{3,x}=k\,\dfrac{q_{3}}{a^{2}}=5617{,}3\cdot2=11234{,}6\\ \mathrm{N/C}.
E_{2,y}=k\,\dfrac{q_{2}}{a^{2}}=5617{,}3\cdot(-2)=-11234{,}6\\ \mathrm{N/C}.
Agora somas:
E_{x}=E_{1,x}+E_{3,x}=5617{,}3\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}+11234{,}6.
E_{y}=E_{1,y}+E_{2,y}=5617{,}3\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}-11234{,}6.
Calculemos os números (usar 1/\sqrt{2}\approx0{,}70710678):
  • 5617{,}3\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}\approx5617{,}3\cdot0{,}70710678\approx3971{,}9\\ \mathrm{N/C}.
Logo:
E_{x}\approx3971{,}9+11234{,}6=15206{,}5\\ \mathrm{N/C},
E_{y}\approx3971{,}9-11234{,}6=-7262{,}7\\ \mathrm{N/C}.
Portanto o vetor campo resultante em componentes:
\mathbf{E}\approx15206{,}5\,\hat{\imath}-7262{,}7\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{N/C}.

Passo 10

Calcular módulo e direção (sentido) do vetor \mathbf{E}:
  • Módulo:
|\mathbf{E}|=\sqrt{E_{x}^{2}+E_{y}^{2}} \approx\sqrt{(15206{,}5)^{2}+(-7262{,}7)^{2}}\approx16858\\ \mathrm{N/C}.
  • Direção (ângulo \theta medido a partir do eixo +x, sentido positivo anti-horário):
\theta=\arctan\!\left(\dfrac{E_{y}}{E_{x}}\right) =\arctan\!\left(\dfrac{-7262{,}7}{15206{,}5}\right) \approx\arctan(-0{,}4775)\approx-25{,}6^\circ.
Interpretação do sinal: ângulo de aproximadamente 25{,}6^\circ abaixo do eixo +x (ou 360^\circ-25{,}6^\circ se preferir medir no sentido positivo).

Resposta

\mathbf{E}\approx15206{,}5\,\hat{\imath}-7262{,}7\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{N/C}
|\mathbf{E}|\approx1{,}6858\times10^{4}\\ \mathrm{N/C}
\theta\approx-25{,}6^\circ (ou seja, 25{,}6^\circ abaixo do eixo +x)

Exercícios relacionados