Um anel fino de raio R possui uma carga total Q distribuída uniformemente ao longo de sua circunferência. Em aula, concluímos que o módulo do campo elétrico ao longo do eixo perpendicular ao plano do anel e que passa pelo seu centro é dado por:
E=14 pi varepsilon0 Q x(x^2+R^2)^3 / 2
Por favor, mostre que a distância ( Xmax ) onde o campo elétrico é máximo ( Emax ) é dada por:
xmax =Rraiz2
Depois, calcule E max para um anel com 10 cm de raio.

Passo 1

Beleza, temos um anel de raio E(x)=14pivarepsilon0,Q,x(x^2+R^2)^3/2 com carga total xmax=Rraiz2 uniformemente distribuída. A gente já sabe que, em qualquer ponto do eixo que passa pelo centro do anel, a intensidade do campo é
O que a questão pede é:
  1. Mostrar que o campo é máximo em
  1. Calcular esse valor máximo para .
    Para isso vamos usar cálculo de derivadas (teorema do máximo) e depois substituir em .

Passo 2

Primeiro, para achar onde kequiv14pivarepsilon0,Q, E(x)=k,x,(x^2+R^2)^-3/2, atinge máximo, derivamos dEdx = kl[(x^2+R^2)^-3/2 + xcdotl(-tfrac32r)(2x),(x^2+R^2)^-5/2r] em relação a e igualamos a zero. Definindo
fazemos a derivada usando regra do produto:

Passo 3

Vamos simplificar esse dEdx = kl[(x^2+R^2)^-3/2 -3x^2,(x^2+R^2)^-5/2r] = k,(x^2+R^2)^-5/2l[(x^2+R^2)-3x^2r] :
(x^2+R^2)-3x^2=0 ;Longrightarrow; R^2-2x^2=0 ;Longrightarrow; x^2=R^22 ;Longrightarrow; x=Rraiz2
Para anular a derivada, basta
(pegamos a raiz positiva porque é distância).

Passo 4

Agora a gente já sabe Emax = 14pivarepsilon0,Q,(R/raiz2)l((R/raiz2)^2+R^2r)^3/2 = 14pivarepsilon0,Q,R/raiz2l(tfracR^22+R^2r)^3/2 . Vamos pôr isso dentro de l(tfrac3R^22r)^3/2 =l(tfrac32r)^3/2R^3 =3raiz32raiz2,R^3 para achar Emax =14pivarepsilon0; Q,R/raiz2(3raiz3/(2raiz2)),R^3 =14pivarepsilon0; 2Q3raiz3,R^2 :
Repare que , então
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Resposta

boxedxmax=Rraiz2, Emax =14pivarepsilon0,2Q3raiz3,R^2
Para Emax =14pivarepsilon0,2Q3raiz3,(0,10)^2 approx 9times10^9;cdot2Q3cdot1,732cdot0,01 approx3,5times10^11,Q (em N/C, com (Q) em C) , fica

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