Uma densidade volumétrica de cargas está distribuída no vácuo. Assuma que esta densidade é uniforme nas direções y e z. A intensidade de campo elétrico em qualquer lugar do espaço é dada por E=3 x^2 x[V / m].
Usando varrho calculado no item anterior, suponha agora que a carga esteja apenas localizada no volume dado por -1. Calcule a carga total.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. A gente tem um campo elétrico no vácuo dado por
E(x)=3,x^2,x[V/m],
e sabe-se que a densidade volumétrica de carga varrho foi calculada antes (pela lei de Gauss diferencial). Agora, a carga só existe dentro do cubo definido por
-1
O que precisamos fazer é encontrar a carga total dentro desse volume.
Conteúdo: eletrostática básica, uso da lei de Gauss diferencial , e cálculo de integral tripla de densidade de carga.

Passo 2

Antes de integrar, vamos relembrar como achamos nablacdotE = varrhovarepsilon0 . A lei de Gauss diferencial diz:
nablacdotE = partial Expartial x = partialpartial xl(3x^2r) = 6x
Aqui varrho(x) = varepsilon0,(6x) = 6,varepsilon0,x , então
Logo
Esse é o nosso “mapa” de densidade de carga dentro do cubo.

Passo 3

Agora, carga total é a integral da densidade em todo o volume:
Q = integralV varrho,dV
Como Q = integralx=-1^1!integraly=-1^1!integralz=-1^1 l(6,varepsilon0,xr),dz,dy,dx só varia com Q = 6,varepsilon0 l(integralx=-1^1 x,dxr) l(integraly=-1^1 dyr) l(integralz=-1^1 dzr) , separamos as integrais em :
Podemos fatorar tudo que não depende de :

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
  1. Q = 6,varepsilon0 times 0 times 2 times 2 = 0
Multiplicando:

Resposta

A carga total dentro do cubo é .)

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