Uma densidade volumétrica de cargas está distribuída no vácuo. Assuma que esta densidade é uniforme nas direções
e
. A intensidade de campo elétrico em qualquer lugar do espaço é dada por
.
Usando
calculado no item anterior, suponha agora que a carga esteja apenas localizada no volume dado por
. Calcule a carga total.
Usando
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. A gente tem um campo elétrico no vácuo dado por
e sabe-se que a densidade volumétrica de carga
foi calculada antes (pela lei de Gauss diferencial). Agora, a carga só existe dentro do cubo definido por
O que precisamos fazer é encontrar a carga total
dentro desse volume.
Conteúdo: eletrostática básica, uso da lei de Gauss diferencial , e cálculo de integral tripla de densidade de carga.
Conteúdo: eletrostática básica, uso da lei de Gauss diferencial
Passo 2
Antes de integrar, vamos relembrar como achamos
. A lei de Gauss diferencial diz:
Aqui
, então
Logo
Esse é o nosso “mapa” de densidade de carga dentro do cubo.
Passo 3
Agora, carga total é a integral da densidade em todo o volume:
Como
só varia com
, separamos as integrais em
:
Podemos fatorar tudo que não depende de
:
Passo 4
Vamos calcular cada parte:
Multiplicando:
Resposta
A carga total dentro do cubo é
.)