Considere uma nanopartícula esférica isolante com raio R, que está suspensa no vácuo depois de perder 2025 elétrons ao interagir com fótons de raios-X.
Sabendo que a carga líquida da nanopartícula está distribuída de forma não uniforme de acordo com:
rho(r)=rho0(1-rR), para 0 <= r <= R
Por gentileza, determine:
O módulo do campo elétrico dentro da nanopartícula (isto é, para 0 <= r ). Indique a orientação!

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma nanopartícula esférica de raio com densidade de carga não uniforme
para , e ela perdeu elétrons (logo, ficou com carga positiva).
O que a gente quer é o módulo do campo elétrico dentro da esfera ( ).
Conteúdo: eletrostática, Lei de Gauss e integração de densidade volumétrica.
O que vamos precisar:
• Calcular a carga total contida em uma esfera de raio genérico :
.
• Aplicar a Lei de Gauss:
.

Passo 2

Calcular Qrm int(r) =integral0^rrho0l(1-r'Rr),4pi r'^2,dr' =4pirho0integral0^rl(r'^2-r'^3Rr)dr' .
• O elemento de volume em coordenadas esféricas é integral0^r r'^2dr'=r^33, integral0^r r'^3dr'=r^44, .
• Logo
Qrm int(r) =4pirho0l(tfracr^33-tfracr^44Rr)
• Fazendo a integral:
então  
\[
  Q_{\rm int}(r)
  =4\pi\rho_0\Bigl(\tfrac{r^3}{3}-\tfrac{r^4}{4R}\Bigr).
\]

Passo 3

Agora aplica-se a Lei de Gauss num cilindro (ou melhor, numa superfície esférica) de raio E(r),4pi r^2 = Qrm int(r)varepsilon0 Longrightarrow E(r)=14pivarepsilon0,Qrm int(r)r^2 :
E(r) =14pivarepsilon0,4pirho0l(tfracr^33-tfracr^44Rr)r^2 =rho0varepsilon0l(r3-r^24Rr)
Substituindo :

Resposta

boxed E(r)=rho0varepsilon0l(r3-r^24Rr), apontando radialmente para fora (hat r), 0<= r< R

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