Uma densidade volumétrica de cargas está distribuída no vácuo. Assuma que esta densidade é uniforme nas direções y e z. A intensidade de campo elétrico em qualquer lugar do espaço é dada por E=3 x^2 x[V / m].
Determine a densidade volumétrica de cargas varrho para qualquer lugar do espaço.

Passo 1

Então, o que a questão tá pedindo? A gente tem um campo elétrico no vácuo dado por
E(x)=3x^2,x[V/m],
e sabemos que a densidade de carga volumétrica nablacdotE=varrhovarepsilon0 é uniforme em e . O que queremos é encontrar em função de .
Conteúdo da matéria: eletrostática, mais especificamente a Lei de Gauss na forma diferencial. Vamos precisar do operador divergente (∇·) e da relação

Passo 2

Qual é a teoria que a gente usa?
A Lei de Gauss em forma diferencial diz que o divergente do campo elétrico é igual à densidade de carga dividida pela permissividade do vácuo, nablacdotE = varrhovarepsilon0 .
Ou seja:
varrho = varepsilon0,(nablacdotE)
Isso nos dá a fórmula pra achar :

Passo 3

Agora, vamos calcular o divergente de nablacdotE =partial Expartial x +partial Eypartial y +partial Ezpartial z .
Por definição, para nablacdotE =partial (3x^2)partial x+0+0 =6x ,
No nosso caso, e . Então

Passo 4

Basta agora usar varrho(x) =varepsilon0,(6x) =6,varepsilon0,x :

Resposta

boxedvarrho(x)=6,varepsilon0,x[C/m^3]

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