Um anel em forma de coroa circular, de raio interno a e raio externo b, tem uma densidade superficial de carga constante. Considere que o anel está centrado na origem e é perpendicular ao eixo dos z z.
Quando a distância de um ponto ao disco é muito menor que a distância à periferia do disco, podemos, para calcular o campo eléctrico, fazer a aproximação de que o disco se comporta como um plano infinito. Nessas condições, determine E.

Passo 1

Beleza, o problema diz que temos um anel (um disco com um furo) de raio interno e externo , com carga distribuída na superfície de forma uniforme (densidade ). O anel está no plano (perpendicular ao eixo ), centrado na origem. Agora, se estivermos bem pertinho do disco (distância ao plano muito menor que e ), a gente pode tratá-lo como se fosse um plano infinito carregado. A matéria envolvida aqui é a Lei de Gauss para campo elétrico, e vamos precisar montar uma superfície de Gauss (pílula cilíndrica) pra tirar .

Passo 2

Primeiro, lembra da Lei de Gauss:
ointsuperf Ecdot dA ;=;Qrm intvarepsilon0
Para um plano infinito uniformemente carregado, escolhemos uma “pílula” cilíndrica que atravessa o plano:
  • A tampa de cima de área Qrm int ;=;sigma,A e a de baixo também de área .
  • As paredes laterais não contribuem porque é perpendicular ao plano e paralelo às laterais (logo ali).
Dentro dessa pílula, a carga total é
pois é carga por área.

Passo 3

Agora, o fluxo total é só a soma dos fluxos pelas duas tampas:
Phi =;E;A ;+;E;A =;2,E,A,
já que o módulo do campo em cada face é igual e aponta pra fora do volume. Pela Lei de Gauss:
2,E,A ;=;sigma,Avarepsilon0 Longrightarrow E ;=;sigma2,varepsilon0
O vetor campo fica perpendicular ao plano (eixo ): para , sai do plano ( de um lado e do outro).

Resposta

boxed E ;=;sigma2,varepsilon0,hat z
(para pontos bem pertinhos do disco, encarando ele como plano infinito).

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