As linhas de campo eléctrico emergem radialmente duma superfície esférica e têm uma densidade uniforme ao longo da superfície. Quais são as possíveis distribuiçc̃es de carga dentro da esfera?
Passo 1
Então, o enunciado diz que num certo raio R temos uma superfície esférica da qual as linhas de campo elétrico saem radialmente e com densidade de fluxo (linhas por área) igual em toda parte. A matéria envolvida é Eletrostática – mais especificamente a Lei de Gauss e ideia de expansão multipolar. Para resolver a questão, vamos precisar:
Usar a Lei de Gauss para relacionar o campo na superfície com a carga total dentro da esfera.
Entender por que, para que o campo seja estritamente radial e uniforme nesse R, a distribuição de carga deve obedecer a certa simetria.
Passo 2
Lei de Gauss (explicada do zero):
A Lei de Gauss nos diz que o fluxo total de E através de uma superfície fechada S vale
onde é a carga total contida dentro de S.
No nosso caso, a superfície é uma esfera de raio e o campo é radial com módulo constante . Então
Isso mostra que o total de carga que existe dentro do raio é
uma constante.
Passo 3
Mas quantas e quais distribuições de carga ‘dentro da esfera’ podem dar esse mesmo campo uniforme na superfície?
Aqui entra a ideia – sem math avançada – de que, se houvesse pedacinhos de carga desalinhados ou distribuídos torto, eles gerariam “dips” ou “picos” de campo em certas direções, quebrando a uniformidade angular.
Em linguagem de multipolos, qualquer componente além do monopolo (dipolo, quadrupolo…) criaria dependência angular do campo externo. Para manter só radial e igual em todos os pontos em , todos esses momentos de ordem ≥1 têm de ser zero.
Passo 4
Conclusão prática: a única exigência é que a distribuição seja esfericamente simétrica em torno do centro.
Isto quer dizer que a densidade volumétrica integral0^R 4pi r^2,rho(r),dr ;+; carga superficial em r=R ,=, Qrm int só pode depender de (distância ao centro), , ou então pode haver uma capa de carga na superfície . Mas não pode haver “penhascos” de carga em direções específicas.
Em outras palavras, você pode escolher qualquer função – contanto que
igual a .
Resposta
Todas as distribuições de carga possíveis são aquelas de simetria esférica (ou seja, no volume e/ou carga superficial uniforme em ), desde que o total das cargas some . Qualquer outra forma quebra a uniformidade do campo na superfície.