Uma coroa esférica de raios R1 e R2(R1 tem uma densidade volúmica de carga que é inversamente proporcional ao raio. Sabendo que a carga total da coroa é Q, obtenha uma expressão para a densidade de carga.

Passo 1

Então, o exercício diz que temos uma casquinha esférica que vai de raio até e que a densidade volumétrica de carga varia como . A gente sabe também que a carga total dentro dessa casca é . O objetivo é achar a expressão de .
Conteúdo envolvido: densidade volumétrica de carga, integração em coordenadas esféricas e resolução de constante a partir da condição de carga total.

Passo 2

Primeiro, a gente assume que
rho(r) = kr,
onde Q = integralV rho(r),dV é uma constante que ainda não conhecemos. Depois, a definição de carga total em termos de densidade volumétrica é
dV = 4pi r^2,dr
Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é

Passo 3

Substituindo Q = integralR1^R2 kr,l(4pi r^2,drr) = 4pi k integralR1^R2 r,dr e integralR1^R2 r,dr = [r^22]R1^R2 = R2^2 - R1^22 na expressão de Q = 4pi k ,R2^2 - R1^22 = 2pi k l(R2^2 - R1^2r) , dá
Aqui usamos que . Agora basta integrar :
Logo,

Passo 4

Isolando k = Q2pi,(R2^2 - R1^2) , temos
rho(r) = 1r,cdotQ2pi,(R2^2 - R1^2)
Como , a densidade de carga fica

Resposta

boxedrho(r) = Q2pi,(R2^2 - R1^2);1r, R1<= r<= R2

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