Uma coroa esférica de raios
e
tem uma densidade volúmica de carga que é inversamente proporcional ao raio. Sabendo que a carga total da coroa é
, obtenha uma expressão para a densidade de carga.
Passo 1
Então, o exercício diz que temos uma casquinha esférica que vai de raio
até
e que a densidade volumétrica de carga
varia como
. A gente sabe também que a carga total dentro dessa casca é
. O objetivo é achar a expressão de
.
Conteúdo envolvido: densidade volumétrica de carga, integração em coordenadas esféricas e resolução de constante a partir da condição de carga total.
Conteúdo envolvido: densidade volumétrica de carga, integração em coordenadas esféricas e resolução de constante a partir da condição de carga total.
Passo 2
Primeiro, a gente assume que
onde
é uma constante que ainda não conhecemos. Depois, a definição de carga total em termos de densidade volumétrica é
Em coordenadas esféricas, o elemento de volume é
Passo 3
Substituindo
e
na expressão de
, dá
Aqui usamos que
. Agora basta integrar
:
Logo,
Passo 4
Isolando
, temos
Como
, a densidade de carga fica