Um fio recto muito comprido está carregado com uma densidade linear de carga constante lambda. Para pontos que estão a uma distância do fio (medida na perpendicular) que é muito inferior à sua distância a qualquer das extremidades do fio, podemos, para calcular o campo eléctrico, fazer a aproximação de que o fio é infinito. Nessas condições:
Determine a diferença de potencial eléctrico entre dois pontos a distâncias rA e rB do fio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre campo elétrico e potencial elétrico gerado por um fio longo carregado. A gente precisa encontrar a diferença de potencial elétrico entre dois pontos que estão a distâncias $ r_A $ e $ r_B $ do fio. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especialmente relacionados a cargas distribuídas linearmente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um fio muito longo com densidade linear de carga $ \lambda $ gera um campo elétrico ao seu redor. Quando o fio é considerado infinito, a expressão para o campo elétrico simplifica bastante, porque podemos ignorar os efeitos das extremidades.

Passo 3

A expressão do campo elétrico $ E $ gerado por um fio infinito a uma distância $ r $ é dada por:
E
onde $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo. Essa fórmula nos mostra que o campo elétrico varia inversamente com a distância desde o fio.

Passo 4

Agora, para encontrar a diferença de potencial elétrico $ V $ entre dois pontos, a gente precisa integrar o campo elétrico. A relação entre campo elétrico e potencial é:
V
Como estamos calculando a diferença entre duas distâncias, vamos integrar de $ r_A $ a $ r_B $.

Passo 5

Substituindo a expressão de $ E $ na integral, temos:
E
Essa integral é relativamente simples de resolver, já que a integral de $ \frac{1}{r} $ é o logaritmo natural.

Passo 6

Resolvendo a integral, obtemos:
V = -lambda2pi varepsilon0 ln( rBrA )
Isso significa que a diferença de potencial depende do logaritmo das razões das distâncias dos pontos ao fio.

Passo 7

Simplificando, a diferença de potencial $ \Delta V $ entre os pontos $ A $ e $ B $ é:
De
Isso nos dá a diferença de potencial desejada.

Resposta

A diferença de potencial elétrico entre os pontos é:
De

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