Um anel metálico de raio R com densidade linear de carga lambda esta centrado na origem de uma sistema cartesiano e cujo eixo de simetria coincide com o eixo y. Mostre que a força elétrica exercida pelo anel sobre uma carga Q, fixada na posição p=(0, y, 0), será máxima quando:
y= pm Rraiz2

Passo 1

O enunciado fala de um anel de raio R com densidade linear de carga lambda, centrado na origem, no plano xz, e com eixo de simetria ao longo de y. Queremos achar a força elétrica que o anel exerce sobre uma carga Q fixa em (0,y,0) e mostrar que essa força é máxima quando
y=pmRraiz2
O conteúdo usado será o cálculo do campo elétrico no eixo de um anel carregado e depois a maximização de uma função de uma variável.

Passo 2

Para achar o campo no ponto (0,y,0) usamos integração por simetria. Tomamos um elemento de carga
,dq=lambda R,dphi
num ponto do anel, a distância
raizR^2+y^2
da carga Q. O módulo de seu campo é
dE=14pivarepsilon0dqR^2+y^2
e só sobra a componente ao longo de y, dada por
dEy=dEcostheta com costheta=yraizR^2+y^2
Como em todo o anel os componentes transversais se cancelam, integramos em phi de 0 a 2pi:

Passo 3

Ey =integral0^2pi14pivarepsilon0lambda R,dphiR^2+y^2,yraizR^2+y^2 =14pivarepsilon0lambda,2pi R,y(R^2+y^2)^3/2
Logo, a força sobre Q vale
F(y)=Q,Ey =lambda Q,2pi R4pivarepsilon0;y(R^2+y^2)^3/2
Para achar o máximo de F, basta estudar a parte dependente de y:
f(y)=y(R^2+y^2)^3/2

Passo 4

Calculamos f'(y) por derivação de
;y,(R^2+y^2)^-3/2:
f'(y) =(R^2+y^2)^-3/2 +yl(-tfrac32r)(R^2+y^2)^-5/2(2y) =(R^2+y^2)^-5/2(R^2-2y^2)
Fazendo f'(y)=0 obtém-se
R^2-2y^2=0 Longrightarrow y^2=R^22 Longrightarrow y=pmRraiz2

Resposta

A força elétrica é máxima quando
y=pmRraiz2

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