Um anel metálico de raio
com densidade linear de carga
esta centrado na origem de uma sistema cartesiano e cujo eixo de simetria coincide com o eixo
. Mostre que a força elétrica exercida pelo anel sobre uma carga
, fixada na posição
, será máxima quando:
Passo 1
O enunciado fala de um anel de raio
com densidade linear de carga
, centrado na origem, no plano
, e com eixo de simetria ao longo de
. Queremos achar a força elétrica que o anel exerce sobre uma carga
fixa em
e mostrar que essa força é máxima quando
O conteúdo usado será o cálculo do campo elétrico no eixo de um anel carregado e depois a maximização de uma função de uma variável.
Passo 2
Para achar o campo no ponto
usamos integração por simetria. Tomamos um elemento de carga
num ponto do anel, a distância
da carga . O módulo de seu campo é
num ponto do anel, a distância
da carga
e só sobra a componente ao longo de
, dada por
Como em todo o anel os componentes transversais se cancelam, integramos em
de
a
:
Passo 3
Logo, a força sobre
vale
Para achar o máximo de
, basta estudar a parte dependente de
:
Passo 4
Calculamos
por derivação de
Fazendo
obtém-se
Resposta
A força elétrica é máxima quando