Os extremos de uma haste condutora coincidem com os pontos o=(0,0,0) e p=(L, 0, 0) de um sistema cartesiano. Mostre que a força exercida pela haste sobre uma carga puntiforme q0 fixada na posição s=(a, 0,0),(a>L), é: (considere a haste com densidade constante lambda,)
F=14 pi epsilon0 q0 lambda La(a+L)

Passo 1

O enunciado dá uma haste uniformemente carregada, de densidade linear lambda, que vai de x=0 até x=L no eixo x. Há uma carga de prova q0 fixa em x=a, com a>L. Precisamos usar a lei de Coulomb em sua forma diferencial e integrar ao longo da haste para obter a força total sobre q0.

Passo 2

Escolhemos um elemento infinitesimal de carga da haste, em x'in[0,L]:
dq = lambda,dx'
Esse elemento gera, em x=a, um campo elétrico
dvec E = 14piepsilon0,dq(a - x')^2, x
porque a distância é lvert a - x'rvert = a - x' (positivo) e o vetor de campo aponta em direção positiva de x.

Passo 3

Substituindo dq=lambda,dx', temos
dvec E = 14piepsilon0,lambda,dx'(a - x')^2, x
Para obter o campo total, integramos de x'=0 a x'=L:
vec E = integral0^Ldvec E = lambda4piepsilon0, x integral0^Ldx'(a - x')^2

Passo 4

Calculemos a integral
integral0^Ldx'(a - x')^2
Use a substituição u = a - x', du = -dx'. Os limites vão de u(a-0)=a até u(a-L)=a-L, então
integral0^Ldx'(a - x')^2 = integralu=a^,a-L-duu^2 = integralu=a-L^,aduu^2 = l[-tfrac1ur]a-L^,a = -1a + 1a-L = La,(a - L)
Logo
vec E = lambda4piepsilon0,La,(a - L), x

Passo 5

A força sobre q0 é vec F = q0,vec E. Portanto
boxed vec F = 14piepsilon0;q0,lambda;La,(a - L); x

Resposta

vec F = 14piepsilon0;q0,lambda;La,(a - L); x

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