Mostre que a taxa média com que a energia é transportada em uma corda por uma onda mecânica de amplitude
e frequência
é
onde
é a velocidade da onda e
é a massa por unidade de comprimento da corda. (b) Se a corda estiver tensionada por uma força
e tiver uma massa por unidade de comprimento
, qual será a potência necessária para transmitir uma onda traversal de frequência 120 Hz e amplitude
? Resposta: (b) 420 W .
Passo 1
O problema tem duas partes: (a) mostrar a fórmula da potência média transportada por uma onda transversal numa corda, e (b) calcular numericamente a potência necessária com dados numéricos. As informações relevantes são:
Nada mais foi pedido além de provar a expressão e calcular a potência para os valores dados.
Passo 2
Vamos modelar a onda transversal mais simples: uma onda senoidal que se propaga no sentido positivo de
. Escrevemos a posição transversal da corda como função de
e
:
onde:
Relacionamentos importantes:
onde
é a frequência (Hz),
é a velocidade de propagação,
(ou
) é a tensão na corda e
é a massa por unidade de comprimento. Vamos usar a hipótese de pequenas inclinações da corda (tanto
quanto ângulos pequenos), o que permite aproximar componentes verticais da tensão por
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais necessárias (mostro passo a passo):
Aqui
é a velocidade vertical instantânea de uma partícula da corda no ponto
, e
é a inclinação instantânea da corda naquele ponto.
Passo 4
Agora a potência instantânea que atravessa a seção em
é o trabalho por unidade de tempo que a força vertical exercida pela parte da corda à esquerda realiza sobre a massa à direita. Em aproximação de pequenos ângulos, a componente vertical da tensão que puxa a seção é aproximadamente
(o sinal depende da convenção), e a velocidade vertical é
. Assim a potência instantânea (fluxo de energia) através da seção é
Essa expressão vem da definição potência = força
velocidade (com o sinal apropriado); aqui tomamos a expressão com sinal que dá potência positiva quando a energia é transportada para a direita.
Passo 5
Substituímos as derivadas encontradas no Passo 3 em
:
Multiplicando:
Observe que essa potência instantânea depende de
e
através do
. Para obter a potência média transportada (o que o enunciado pede), fazemos média temporal em um período.
Passo 6
A média temporal de
sobre um período é
. Logo a potência média em qualquer seção
é
Agora substituímos
e
(esta última vem de
):
Finalmente, usando
e
,
Isso é exatamente a fórmula pedida.
Passo 7
Agora fazemos o item (b): cálculo numérico usando a fórmula
. Primeiro calculamos
a partir de
com
e
:
Passo 8
Agora calculamos todos os termos para inserir na fórmula. Temos:
Calcule o produto
:
Note que
. Então
Finalmente multiplica-se por
:
Arredondando de forma razoável (duas algarismos significativos coerentes com os dados), obtemos aproximadamente
, que coincide com a resposta indicada
.