Mostre que a taxa média com que a energia é transportada em uma corda por uma onda mecânica de amplitude A e frequência f é
P=2 \pi^{2} \mu v f^{2} A^{2},
onde v é a velocidade da onda e \mu é a massa por unidade de comprimento da corda. (b) Se a corda estiver tensionada por uma força F_{T}=135 N e tiver uma massa por unidade de comprimento 0,10 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}, qual será a potência necessária para transmitir uma onda traversal de frequência 120 Hz e amplitude 2,0 \mathrm{~cm} ? Resposta: (b) 420 W .

Passo 1

O problema tem duas partes: (a) mostrar a fórmula da potência média transportada por uma onda transversal numa corda, e (b) calcular numericamente a potência necessária com dados numéricos. As informações relevantes são:
\text{(a)}\quad\text{mostrar que }P=2\pi^{2}\mu v f^{2}A^{2}.
\text{(b)}\quad F_{T}=135\\ \mathrm{N},\quad \mu=0{,}10\\ \mathrm{kg/m},\quad f=120\\ \mathrm{Hz},\quad A=2{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}02\\ \mathrm{m}.
Nada mais foi pedido além de provar a expressão e calcular a potência para os valores dados.

Passo 2

Vamos modelar a onda transversal mais simples: uma onda senoidal que se propaga no sentido positivo de x. Escrevemos a posição transversal da corda como função de x e t:
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t),
onde:
A\\ \text{é a amplitude (m)},\quad k\\ \text{é o número de onda (m}^{-1}\text{)},\quad \omega\\ \text{é a frequência angular (s}^{-1}\text{)}.ééúéê
Relacionamentos importantes:
\omega=2\pi f,\qquad v=\frac{\omega}{k},\qquad v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde f é a frequência (Hz), v é a velocidade de propagação, T (ou F_T) é a tensão na corda e \mu é a massa por unidade de comprimento. Vamos usar a hipótese de pequenas inclinações da corda (tanto |\partial y/\partial x|\ll1 quanto ângulos pequenos), o que permite aproximar componentes verticais da tensão por T\,\partial y/\partial x.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais necessárias (mostro passo a passo):
\frac{\partial y}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\bigl(A\sin(kx-\omega t)\bigr)=-A\omega\cos(kx-\omega t).
\frac{\partial y}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(A\sin(kx-\omega t)\bigr)=A k\cos(kx-\omega t).
Aqui \partial y/\partial t é a velocidade vertical instantânea de uma partícula da corda no ponto x, e \partial y/\partial x é a inclinação instantânea da corda naquele ponto.

Passo 4

Agora a potência instantânea que atravessa a seção em x é o trabalho por unidade de tempo que a força vertical exercida pela parte da corda à esquerda realiza sobre a massa à direita. Em aproximação de pequenos ângulos, a componente vertical da tensão que puxa a seção é aproximadamente -T\,\partial y/\partial x (o sinal depende da convenção), e a velocidade vertical é \partial y/\partial t. Assim a potência instantânea (fluxo de energia) através da seção é
P_{\text{inst}}(x,t) = -T\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right).
Essa expressão vem da definição potência = força \times velocidade (com o sinal apropriado); aqui tomamos a expressão com sinal que dá potência positiva quando a energia é transportada para a direita.

Passo 5

Substituímos as derivadas encontradas no Passo 3 em P_{\text{inst}}:
P_{\text{inst}}(x,t) = -T\bigl(A k\cos(kx-\omega t)\bigr)\bigl(-A\omega\cos(kx-\omega t)\bigr).
Multiplicando:
P_{\text{inst}}(x,t)=T A^{2} k\omega \cos^{2}(kx-\omega t).
Observe que essa potência instantânea depende de x e t através do \cos^{2}. Para obter a potência média transportada (o que o enunciado pede), fazemos média temporal em um período.

Passo 6

A média temporal de \cos^{2} sobre um período é 1/2. Logo a potência média em qualquer seção x é
\langle P\rangle = T A^{2} k\omega \left\langle \cos^{2}(kx-\omega t)\right\rangle = T A^{2} k\omega\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}T k\omega A^{2}.
Agora substituímos k=\omega/v e T=\mu v^{2} (esta última vem de v=\sqrt{T/\mu}\Rightarrow T=\mu v^{2}):
\langle P\rangle=\frac{1}{2}(\mu v^{2})\left(\frac{\omega}{v}\right)\omega A^{2}=\frac{1}{2}\mu v \,\omega^{2}A^{2}.
Finalmente, usando \omega=2\pi f e \omega^{2}=4\pi^{2}f^{2},
\langle P\rangle=\frac{1}{2}\mu v (4\pi^{2}f^{2})A^{2}=2\pi^{2}\mu v f^{2}A^{2}.
Isso é exatamente a fórmula pedida.

Passo 7

Agora fazemos o item (b): cálculo numérico usando a fórmula \displaystyle P=2\pi^{2}\mu v f^{2}A^{2}. Primeiro calculamos v a partir de v=\sqrt{T/\mu} com T=F_{T}=135\\ \mathrm{N} e \mu=0{,}10\\ \mathrm{kg/m}:
v=\sqrt{\frac{135}{0{,}10}}=\sqrt{1350}\approx 36{,}7423\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Agora calculamos todos os termos para inserir na fórmula. Temos:
f^{2}=(120)^{2}=14400,\qquad A^{2}=(0{,}02)^{2}=0{,}0004.
Calcule o produto \mu v f^{2} A^{2}:
\mu v f^{2} A^{2}=0{,}10\times 36{,}7423\times 14400\times 0{,}0004.
Note que 14400\times 0{,}0004=5{,}76. Então
\mu v f^{2} A^{2}=0{,}10\times 36{,}7423\times 5{,}76\approx 21{,}1565.
Finalmente multiplica-se por 2\pi^{2}:
P=2\pi^{2}\times 21{,}1565\approx 19{,}7392\times 21{,}1565\approx 417{,}6\\ \mathrm{W}.
Arredondando de forma razoável (duas algarismos significativos coerentes com os dados), obtemos aproximadamente 4{,}2\times 10^{2}\\ \mathrm{W}, que coincide com a resposta indicada 420\\ \mathrm{W}.

Resposta

P=2\pi^{2}\mu v f^{2}A^{2}.\n P\approx 4{,}2\times 10^{2}\\ \mathrm{W}

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