Um anel de raio
está uniformemente eletrizado com carga
Coulombs, positiva. Um fio semi-infinito eletrizado com densidade linear de carga constante
Coulombs/metro, positiva, situa-se ao longo do eixo de simetria do anel, com sua extremidade à distância
a do plano do anel. Determine:
o vetor campo elétrico criado pelo anel em qualquer ponto do fio;
o vetor campo elétrico criado pelo anel em qualquer ponto do fio;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um anel com raio $ R $ carregado com uma carga total $ Q $ de forma uniforme. Além disso, tem um fio semi-infinito carregado positivamente com densidade linear de carga $ \lambda $ que está alinhado com o eixo de simetria do anel e sua extremidade está a uma distância $ a $ do plano do anel. Nosso objetivo aqui é descobrir o vetor campo elétrico que o anel cria em qualquer ponto desse fio.
Vamos precisar entender um pouco sobre como calcular o campo elétrico gerado por distribuições de carga, especialmente usando simetria e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular o campo elétrico gerado por um anel de carga no eixo de simetria. Por causa da simetria, o campo elétrico em qualquer ponto ao longo do eixo só tem componente na direção do eixo (digamos, na direção $ z $).
A fórmula para o campo elétrico no eixo de um anel carregado é:
Aqui, $ z $ é a distância ao longo do eixo a partir do centro do anel.
Passo 3
No nosso caso, o fio semi-infinito está posicionado ao longo do eixo, começando na posição $ z = a $ e se estendendo para $ z $ indo para $ +\infty $. Queremos encontrar o campo elétrico devido ao anel em cada ponto desse fio.
Para isso, vamos considerar um elemento infinitesimal do fio em uma posição $ z $ e calcular o campo elétrico no ponto $ z $ devido ao anel.
Passo 4
Vamos integrar o campo elétrico gerado pelo anel desde $ z = a $ até $ z $ indo para $ +\infty $. Mas, na verdade, como o anel está fixo e o campo que queremos calcular é em pontos ao longo do fio, precisamos considerar a superposição dos campos elétricos em cada posição.
No entanto, como o anel cria um campo no eixo que varia com $ z $, e o fio tem uma distribuição de carga contínua, podemos tratar o campo no ponto $ z $ devido ao anel usando a fórmula mencionada anteriormente.
Passo 5
Então, o campo elétrico no ponto $ z $ do fio devido ao anel é:
Aqui, $ \hat{z} $ é o vetor unitário na direção do eixo.
Resposta
O vetor campo elétrico criado pelo anel no ponto $ z $ do fio é: