Elevando-se ao quadrado, via produto escalar, a expressão , e usando a equação da conservação da energia cinética, mostre que se as massas forem iguais, as duas partículas são espalhadas em direções perpendiculares.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas partículas que interagem, e a gente sabe que a quantidade de movimento inicial da primeira partícula (p1i) é igual à soma das quantidades de movimento finais das duas partículas (p1f + p2f). O conteúdo envolvido aqui é conservação da quantidade de movimento e conservação da energia cinética. Para resolver, vamos precisar usar o produto escalar (também conhecido como produto interno) e entender como ele se relaciona com o ângulo entre os vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos elevar ao quadrado a equação da quantidade de movimento usando o produto escalar. Isso significa que vamos calcular o produto escalar de cada lado da equação:
p1i cdot p1i = (p1f + p2f) cdot (p1f + p2f)
Passo 3
Agora, vamos desenvolver o lado direito da equação usando a distributiva do produto escalar:
Segundo a conservação da energia cinética, sabemos que a energia cinética total inicial é igual à energia cinética total final. Como a energia cinética está relacionada ao quadrado da quantidade de movimento (KE = |p|^22m), temos:
|p1i|^2 = |p1f|^2 + |p2f|^2
Passo 5
Vamos comparar as duas equações que obtivemos:
|p1i|^2 = |p1f|^2 + 2,p1f cdot p2f + |p2f|^2
|p1i|^2 = |p1f|^2 + |p2f|^2
Ao igualar os dois lados, percebemos que:
2,p1f cdot p2f = 0
Passo 6
A equação 2,p1f cdot p2f = 0 implica que o produto escalar entre p1f e p2f é zero:
p1f cdot p2f = 0
Passo 7
Quando o produto escalar de dois vetores é zero, isso significa que eles são perpendiculares entre si. Portanto, as direções das quantidades de movimento finais das duas partículas são perpendiculares.
Resposta
As duas partículas são espalhadas em direções perpendiculares.