Elevando-se ao quadrado, via produto escalar, a expressão p1 i=p1 f+p2 f, e usando a equação da conservação da energia cinética, mostre que se as massas forem iguais, as duas partículas são espalhadas em direções perpendiculares.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas partículas que interagem, e a gente sabe que a quantidade de movimento inicial da primeira partícula ( p1i) é igual à soma das quantidades de movimento finais das duas partículas ( p1f + p2f). O conteúdo envolvido aqui é conservação da quantidade de movimento e conservação da energia cinética. Para resolver, vamos precisar usar o produto escalar (também conhecido como produto interno) e entender como ele se relaciona com o ângulo entre os vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos elevar ao quadrado a equação da quantidade de movimento usando o produto escalar. Isso significa que vamos calcular o produto escalar de cada lado da equação:
p1i cdot p1i = (p1f + p2f) cdot (p1f + p2f)

Passo 3

Agora, vamos desenvolver o lado direito da equação usando a distributiva do produto escalar:
p1i cdot p1i = p1f cdot p1f + 2,p1f cdot p2f + p2f cdot p2f
Isso fica:
|p1i|^2 = |p1f|^2 + 2,p1f cdot p2f + |p2f|^2

Passo 4

Segundo a conservação da energia cinética, sabemos que a energia cinética total inicial é igual à energia cinética total final. Como a energia cinética está relacionada ao quadrado da quantidade de movimento ( KE = |p|^22m), temos:
|p1i|^2 = |p1f|^2 + |p2f|^2

Passo 5

Vamos comparar as duas equações que obtivemos:
|p1i|^2 = |p1f|^2 + 2,p1f cdot p2f + |p2f|^2
|p1i|^2 = |p1f|^2 + |p2f|^2
Ao igualar os dois lados, percebemos que:
2,p1f cdot p2f = 0

Passo 6

A equação 2,p1f cdot p2f = 0 implica que o produto escalar entre p1f e p2f é zero:
p1f cdot p2f = 0

Passo 7

Quando o produto escalar de dois vetores é zero, isso significa que eles são perpendiculares entre si. Portanto, as direções das quantidades de movimento finais das duas partículas são perpendiculares.

Resposta

As duas partículas são espalhadas em direções perpendiculares.

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