Considere g=9.8 m / s^2 em todos os problemas.
Dada uma energia potencial U(x, y)=h x^2 y^2, que como indicado, dependente das posições x e y, calcule a força F e qual é o seu módulo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma energia potencial $ U(x, y) = h x^{2} y^{2} $, que depende das posições $ x $ e $ y $. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a força $ \vec{F} $ associada a essa energia e qual é o módulo dela. Para isso, vamos usar conceitos de energia potencial e como relacionar ela com a força através do gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força pode ser encontrada a partir da energia potencial usando a relação:
F = -nabla U
Aqui, $ \nabla U $ é o gradiente da energia potencial $ U $, que basicamente nos dá como a energia muda nas direções $ x $ e $ y $. O sinal negativo indica que a força vai na direção de menor energia.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente $ \nabla U $. O gradiente em duas dimensões é dado por:
nabla U
Então, vamos calcular as derivadas parciais de $ U $ em relação a $ x $ e $ y $.

Passo 4

Primeiro, a derivada parcial de $ U $ em relação a $ x $:
U
Em seguida, a derivada parcial de $ U $ em relação a $ y $:
x

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, o gradiente fica:
nabla U = (2h x y^2, 2h x^2 y)

Passo 6

Aplicando a relação da força com o gradiente, temos:
F = -nabla U = (-2h x y^2, -2h x^2 y)
Portanto, a força em função de $ x $ e $ y $ é:
x

Passo 7

Agora, vamos encontrar o módulo da força $ |\vec{F}| $. O módulo de um vetor $ \vec{F} = (F_x, F_y) $ é dado por:
|F|
Substituindo os valores que encontramos:
F = (Fx, Fy)
Podemos fatorar $ 4h^{2} x^{2} y^{2} $:
|F| = raizFx^2 + Fy^2

Resposta

A força é dada por:
F = -2h x y^2 , i - 2h x^2 y , j
E o módulo dessa força é:
|F| = 2h x y raizx^2 + y^2

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