Considere
em todos os problemas.
Dada uma energia potencial
, que como indicado, dependente das posições
e
, calcule a força
e qual é o seu módulo.
Dada uma energia potencial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma energia potencial $ U(x, y) = h x^{2} y^{2} $, que depende das posições $ x $ e $ y $. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a força $ \vec{F} $ associada a essa energia e qual é o módulo dela. Para isso, vamos usar conceitos de energia potencial e como relacionar ela com a força através do gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força pode ser encontrada a partir da energia potencial usando a relação:
Aqui, $ \nabla U $ é o gradiente da energia potencial $ U $, que basicamente nos dá como a energia muda nas direções $ x $ e $ y $. O sinal negativo indica que a força vai na direção de menor energia.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente $ \nabla U $. O gradiente em duas dimensões é dado por:
Então, vamos calcular as derivadas parciais de $ U $ em relação a $ x $ e $ y $.
Passo 4
Primeiro, a derivada parcial de $ U $ em relação a $ x $:
Em seguida, a derivada parcial de $ U $ em relação a $ y $:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais, o gradiente fica:
Passo 6
Aplicando a relação da força com o gradiente, temos:
Portanto, a força em função de $ x $ e $ y $ é:
Passo 7
Agora, vamos encontrar o módulo da força $ |\vec{F}| $. O módulo de um vetor $ \vec{F} = (F_x, F_y) $ é dado por:
Substituindo os valores que encontramos:
Podemos fatorar $ 4h^{2} x^{2} y^{2} $:
Resposta
A força é dada por:
E o módulo dessa força é: