Um anel semicircular rígido, de raio R , está fixado sobre uma mesa horizontal lisa. Um pequeno bloco é lançado com velocidade inicial u, de modo a entrar no anel por uma de suas extremidades. A velocidade inicial é tangente ao anel nesse ponto, e o bloco passa a se deslocar sobre a mesa, mantendo contato com a parede interna do anel até sair pelo ponto diametralmente oposto.
Durante o movimento, atua uma força de atrito cinético entre o bloco e a parede do anel, cujo
coeficiente é
. Despreze quaisquer outros efeitos dissipativos. Sabe-se que a velocidade com que o bloco deixa o anel ao completar o arco semicircular é
.
Com base nessas informações, assinale a alternativa que apresenta CORRETAMENTE o tempo necessário para que o bloco saia do anel.
a)
b)
c)
d)
e)
Durante o movimento, atua uma força de atrito cinético entre o bloco e a parede do anel, cujo
coeficiente é
Com base nessas informações, assinale a alternativa que apresenta CORRETAMENTE o tempo necessário para que o bloco saia do anel.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (tudo retirado do enunciado):
- Um anel semicircular rígido de raio
está fixado sobre uma mesa lisa. - Um bloco pequeno entra por uma extremidade com velocidade inicial tangente
, percorre o arco semicircular e sai pelo ponto oposto. - Existe atrito cinético entre bloco e parede com coeficiente
; desprezar outras perdas. - A velocidade do bloco ao sair, depois de percorrer o arco semicircular de comprimento
, é dada por .\n
O que se pede: determinar o tempo totalque o bloco leva para percorrer o arco semicircular e sair, e escolher a alternativa correta entre as dadas.
Passo 2
Entendimento físico e força normal: enquanto o bloco se move mantendo contato com a parede interna do anel, ele descreve trajetória circular de raio
. Para manter movimento curvo é necessária força centrípeta, provida pela normal da parede. Assim, a intensidade da força normal
é relacionada à velocidade instantânea
por
onde
é a massa do bloco. Explicação curta: a aceleração centrípeta é
, e pela segunda lei
.
Passo 3
Força de atrito cinético: a força de atrito tangencial que atua é
sempre dirigida contrariamente ao sentido do movimento (faz trabalho negativo). Aqui usamos a lei do atrito cinético
.
Passo 4
Relação energia-trabalho e equação diferencial em função do comprimento de arco
: durante um deslocamento infinitesimal
ao longo da parede, o trabalho da força de atrito é
e isso altera a energia cinética. Pela variação da energia cinética:
Dividindo por
e rearranjando obtemos
Isto é uma equação separável para
.
Passo 5
Integração ao longo do arco: separando variáveis e integrando de
(velocidade
) até um
genérico (velocidade
):
Daí
Para o caso final,
, obtém-se
que coincide com a informação dada no enunciado.
Passo 6
Expressão da velocidade ao longo do arco e cálculo do tempo: a velocidade ao longo do arco é
. O tempo elementar é
. Logo o tempo total para atravessar o arco de comprimento
é
Calcule a integral exponencial:
Portanto
Passo 7
Conclusão e comparação com as alternativas: a expressão obtida coincide com a alternativa (e).