Um anel semicircular rígido, de raio R , está fixado sobre uma mesa horizontal lisa. Um pequeno bloco é lançado com velocidade inicial u, de modo a entrar no anel por uma de suas extremidades. A velocidade inicial é tangente ao anel nesse ponto, e o bloco passa a se deslocar sobre a mesa, mantendo contato com a parede interna do anel até sair pelo ponto diametralmente oposto.
Durante o movimento, atua uma força de atrito cinético entre o bloco e a parede do anel, cujo
coeficiente é \mu. Despreze quaisquer outros efeitos dissipativos. Sabe-se que a velocidade com que o bloco deixa o anel ao completar o arco semicircular é \mathrm{v}=\mathrm{u}^{-\mu \pi}.
Com base nessas informações, assinale a alternativa que apresenta CORRETAMENTE o tempo necessário para que o bloco saia do anel.
a) \quad t=\frac{\pi R}{u}
b) t=\frac{1}{\mu} \ln \left(1+\frac{\mu \pi R}{u}\right)
c) \quad t=\frac{1}{\mu} \ln \left(\frac{u}{u-\mu \pi R}\right)
d) \quad t=\frac{\pi}{\mu}
e) t=\frac{R}{\mu u}\left(e^{\mu \pi}-1\right)

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (tudo retirado do enunciado):
  • Um anel semicircular rígido de raio R está fixado sobre uma mesa lisa.
  • Um bloco pequeno entra por uma extremidade com velocidade inicial tangente \,u, percorre o arco semicircular e sai pelo ponto oposto.
  • Existe atrito cinético entre bloco e parede com coeficiente \mu; desprezar outras perdas.
  • A velocidade do bloco ao sair, depois de percorrer o arco semicircular de comprimento \pi R, é dada por \;v = u\,e^{-\mu\pi}.\n
    O que se pede: determinar o tempo total t que o bloco leva para percorrer o arco semicircular e sair, e escolher a alternativa correta entre as dadas.

Passo 2

Entendimento físico e força normal: enquanto o bloco se move mantendo contato com a parede interna do anel, ele descreve trajetória circular de raio R. Para manter movimento curvo é necessária força centrípeta, provida pela normal da parede. Assim, a intensidade da força normal N é relacionada à velocidade instantânea v por
N = m\frac{v^{2}}{R},
onde m é a massa do bloco. Explicação curta: a aceleração centrípeta é a_{c}=v^{2}/R, e pela segunda lei N = m a_{c}.

Passo 3

Força de atrito cinético: a força de atrito tangencial que atua é
f=\mu N=\mu m\frac{v^{2}}{R},
sempre dirigida contrariamente ao sentido do movimento (faz trabalho negativo). Aqui usamos a lei do atrito cinético f=\mu N.

Passo 4

Relação energia-trabalho e equação diferencial em função do comprimento de arco s: durante um deslocamento infinitesimal ds ao longo da parede, o trabalho da força de atrito é -f\,ds e isso altera a energia cinética. Pela variação da energia cinética:
d\!\left(\tfrac{1}{2}m v^{2}\right) = -f\,ds = -\mu m\frac{v^{2}}{R}\,ds.
Dividindo por m e rearranjando obtemos
\frac{d(v^{2})}{ds} = -\frac{2\mu}{R}\,v^{2}.
Isto é uma equação separável para v^{2}.

Passo 5

Integração ao longo do arco: separando variáveis e integrando de s=0 (velocidade u) até um s genérico (velocidade v(s)):
\frac{d(v^{2})}{v^{2}} = -\frac{2\mu}{R}\,ds
\Rightarrow \int_{u^{2}}^{v^{2}(s)}\frac{d\xi}{\xi} = -\frac{2\mu}{R}\int_{0}^{s} d s'
\Rightarrow \ln\!\left(\frac{v^{2}(s)}{u^{2}}\right) = -\frac{2\mu}{R}s.
Daí
v(s)=u\,e^{-\frac{\mu}{R}s}.
Para o caso final, s=\pi R, obtém-se
v(\pi R)=u\,e^{-\mu\pi},
que coincide com a informação dada no enunciado.

Passo 6

Expressão da velocidade ao longo do arco e cálculo do tempo: a velocidade ao longo do arco é \;v(s)=u\,e^{-\frac{\mu}{R}s}. O tempo elementar é dt=ds/v(s). Logo o tempo total para atravessar o arco de comprimento \pi R é
t=\int_{0}^{\pi R}\frac{ds}{v(s)}=\int_{0}^{\pi R}\frac{ds}{u\,e^{-\frac{\mu}{R}s}} =\frac{1}{u}\int_{0}^{\pi R}e^{\frac{\mu}{R}s}\,ds.
Calcule a integral exponencial:
\int_{0}^{\pi R}e^{\frac{\mu}{R}s}\,ds=\left[\frac{R}{\mu}e^{\frac{\mu}{R}s}\right]_{0}^{\pi R}=\frac{R}{\mu}\left(e^{\mu\pi}-1\right).
Portanto
t=\frac{1}{u}\cdot\frac{R}{\mu}\left(e^{\mu\pi}-1\right)=\frac{R}{\mu u}\left(e^{\mu\pi}-1\right).

Passo 7

Conclusão e comparação com as alternativas: a expressão obtida coincide com a alternativa (e).

Resposta

t=\dfrac{R}{\mu u}\left(e^{\mu\pi}-1\right)

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