Um mol de nitrogênio se expande a uma temperatura constante de 27^{\circ} \mathrm{C} de um volume inicial 5 L para 10 L . Considerando o nitrogênio como gás ideal, o trabalho realizado pelo gás durante a expansão é, aproximadamente: ( use ln (2) =0,69 e \mathrm{R}=8,31 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} . \mathrm{K} ).
zero.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
  • Dado: n=1 mol de nitrogênio.
  • Dado: temperatura inicial e final (isotérmico) T=27^\circ\mathrm{C}.
  • Dado: volume inicial V_i=5\\ \mathrm{L}.
  • Dado: volume final V_f=10\\ \mathrm{L}.
  • Dado: constantes fornecidas: \ln(2)=0,69 e R=8,31\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}.
  • Pergunta: calcular o trabalho realizado pelo gás durante a expansão (valor aproximado).
Observação útil (do enunciado): o processo é isotérmico (temperatura constante).

Passo 2

Entender a fórmula física do trabalho em um processo isotérmico de gás ideal e o que cada símbolo significa.
  • Em termodinâmica, o trabalho realizado pelo gás quando o volume varia é dado por
W=\int_{V_i}^{V_f} P\,dV,
onde W é o trabalho (positivo se realizado pelo gás), P é a pressão e V o volume.
  • Para um gás ideal, a equação de estado é
P=\frac{nRT}{V},
onde n é o número de mols, R é a constante dos gases ideais e T é a temperatura absoluta (em Kelvin). Aqui P tem unidades de pascal se R está em \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}} e V em \mathrm{m^3}, mas note: ao substituir P dentro do integral a razão V_f/V_i é adimensional, então volumes em litros também se cancelam na razão (veremos isso adiante).

Passo 3

Derivar a expressão do trabalho para o caso isotérmico (passo-a-passo da integral) — isso é importante para saber quando usar logaritmo.
Substituindo P na integral:
W=\int_{V_i}^{V_f}\frac{nRT}{V}\,dV.
Como n, R e T são constantes durante o processo isotérmico, podem sair da integral:
W=nRT\int_{V_i}^{V_f}\frac{1}{V}\,dV.
A integral de 1/V é o logaritmo natural:
\int_{V_i}^{V_f}\frac{1}{V}\,dV=\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Portanto a expressão final é
W=nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Explicando as convenções de sinal: esta fórmula dá o trabalho realizado pelo gás. Alguns livros usam W_{by} ou W_{on} com sinais trocados; aqui usamos a convenção “trabalho realizado pelo gás” positivo.

Passo 4

Preparar os valores numéricos e unidades para substituir na fórmula.
  • Converter temperatura para Kelvin:
T=27^\circ\mathrm{C}=27+273=300\\ \mathrm{K}.
  • A razão dos volumes é
\frac{V_f}{V_i}=\frac{10\\ \mathrm{L}}{5\\ \mathrm{L}}=2,
note que aqui usei volumes em litros e a razão é adimensional, então não é necessário converter para \mathrm{m^3} porque a razão não depende da unidade.
  • Já temos \ln(2)=0,69 dado e R=8,31\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}} e n=1\\ \mathrm{mol}.

Passo 5

Substituir os números na fórmula e calcular passo a passo.
A fórmula:
W=nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Substituindo:
W=1\cdot 8{,}31\cdot 300\cdot 0{,}69.
Calculemos em etapas:
8{,}31\cdot 300 = 2493\quad(\text{unidade: }\mathrm{J\\ K^{-1}\cdot K}=\mathrm{J}).
Agora
2493\cdot 0{,}69 = 2493\cdot(0{,}7-0{,}01)=2493\cdot0{,}7 - 2493\cdot0{,}01.
2493\cdot0{,}7 = 1745{,}1,\qquad 2493\cdot0{,}01 = 24{,}93.
1745{,}1 - 24{,}93 = 1720{,}17\\ \mathrm{J}.
Arredondando de forma razoável (duas ou três cifras significativas):
W\approx 1{,}72\times 10^{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Interpretação final e motivação (um empurrãozinho de ânimo).
  • Portanto o trabalho realizado pelo gás durante essa expansão isotérmica de 5\\ \mathrm{L} para 10\\ \mathrm{L} a 27^\circ\mathrm{C} é aproximadamente 1{,}72\times10^{3}\\ \mathrm{J}.
  • Não é zero: trabalho seria zero apenas se o volume não tivesse mudado (ou se houvesse algum processo sem deslocamento de fronteira). Aqui houve expansão, então o gás realizou trabalho positivo.
Força e ânimo: você já tem a fórmula padrão na mão — sempre que for isotérmico lembra: integrar P\,dV, usar P=nRT/V e sai o logaritmo. Dá pra fazer rápido na prova.

Resposta

1{,}72\times 10^{3}\\ \mathrm{J}

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