Uma corda tem massa específica linear de 14,40 \mathrm{~g} / \mathrm{m} e está sujeita a uma tensão de 300 N . A corda é fixa em suas extremidades por suportes mantidos a uma distância de 90,0 \mathrm{~cm}. Considere que uma onda progressiva na corda produza uma onda estacionária com 5/2 comprimentos de onda, determine:
a. A velocidade;
b. O comprimento de onda;
c. A frequência.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede três coisas.
Informações fornecidas:
  • massa linear da corda: \mu = 14{,}40\\ \mathrm{g/m} (vai ser preciso converter para SI).
  • tensão da corda: T = 300\\ \mathrm{N}.
  • distância entre os suportes (comprimento da corda): L = 90{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • a onda estacionária formada na corda contém \tfrac{5}{2} comprimentos de onda ao longo da corda (ou seja, o comprimento da corda é igual a 5/2 vezes o comprimento de onda).
Perguntas:
a. Determinar a velocidade da onda na corda.
b. Determinar o comprimento de onda.
c. Determinar a frequência.

Passo 2

Converter unidades para o SI e interpretar a condição da onda estacionária.
  • Converter \mu de gramas por metro para quilogramas por metro:
\mu = 14{,}40\\ \mathrm{g/m} = 0{,}01440\\ \mathrm{kg/m}.
  • Converter L de centímetros para metros:
L = 90{,}0\\ \mathrm{cm} = 0{,}900\\ \mathrm{m}.
  • Interpretação da condição de onda estacionária: dizer que a corda contém \tfrac{5}{2} comprimentos de onda ao longo de L significa
L = \frac{5}{2}\,\lambda,
onde \lambda é o comprimento de onda da onda que produz a estação. (Como observação útil: para uma corda fixa nas duas extremidades os modos permitidos satisfazem L=\dfrac{n\lambda}{2} com n inteiro; aqui L=\tfrac{5}{2}\lambda corresponde ao modo com n=5.)

Passo 3

Calcular a velocidade da onda na corda usando a fórmula para uma corda tensa.
Explicação da fórmula: para uma onda transversal numa corda ideal tensa, a velocidade v depende somente da tensão T e da massa linear \mu. A relação é
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde v é a velocidade (em \mathrm{m/s}), T é a tensão (em \mathrm{N}) e \mu é a massa por unidade de comprimento (em \mathrm{kg/m}). Essa fórmula vem de igualar as forças resultantes aos termos de massa na equação de onda para a corda (não precisamos deduzir aqui, basta saber que é a fórmula padrão).
Agora calcular numericamente:
v=\sqrt{\frac{300}{0{,}01440}}.
Calcular o quociente:
\frac{300}{0{,}01440}=20833{,}333\ldots
Tomando a raiz quadrada:
v=\sqrt{20833{,}333\ldots}\approx 144{,}337567\ldots\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de forma consistente com os dados (três algarismos significativos), obtemos
v\approx 144\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Determinar o comprimento de onda \lambda a partir da relação dada entre L e \lambda.
Como temos L=\dfrac{5}{2}\lambda, isolamos \lambda:
\lambda=\frac{2L}{5}.
Substituindo L=0{,}900\\ \mathrm{m}:
\lambda=\frac{2\cdot 0{,}900}{5}=\frac{1{,}800}{5}=0{,}360\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Calcular a frequência f sabendo que para uma onda harmônica relaciona-se v, \lambda e f por
v=\lambda f,
onde f é a frequência (em \mathrm{Hz}). Isolando f:
f=\frac{v}{\lambda}.
Substituindo os valores calculados (usar os valores não arredondados intermediários dá mais precisão; aqui usamos v\approx 144{,}3376\\ \mathrm{m/s} e \lambda=0{,}360\\ \mathrm{m}):
f=\frac{144{,}337567\ldots}{0{,}360}\approx 400{,}937687\ldots\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando para três algarismos significativos:
f\approx 401\\ \mathrm{Hz}.

Resposta

v \approx 144\\ \mathrm{m/s}
\lambda = 0{,}360\\ \mathrm{m}
f \approx 401\\ \mathrm{Hz}

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