Um anel de vidro de raio
está eletrizado com cargas positivas distribuídas homogeneamente na forma de uma densidade linear de cargas
.
(a) Obtenha uma expressão que permita calcular o potencial elétrico gerado pelo anel ao longo do eixo de simetria do anel.
(b) Usando
, obtenha uma expressão que permita calcular o campo elétrico gerado pelo anel ao longo do eixo de simetria. Escreva
, a distância do anel até o ponto onde se deseja calcular o potencial, em termos de
e da coordenada sobre a qual se situa o eixo de simetria do anel.
(a) Obtenha uma expressão que permita calcular o potencial elétrico gerado pelo anel ao longo do eixo de simetria do anel.
(b) Usando
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e fornece dados claros. Vou listar:
-
O que se pede:
- (a) Obter uma expressão para o potencial elétrico gerado pelo anel ao longo do eixo de simetria do anel.
- (b) Usando
, obter uma expressão para o campo elétrico ao longo desse mesmo eixo. Escrever a distância do anel até o ponto onde se quer calcular o potencial em termos de e da coordenada ao longo do eixo de simetria.
-
Informações dadas (observadas no enunciado e na figura):
- Anel de vidro de raio
. - Cargas positivas distribuídas homogeneamente com densidade linear
. - Um elemento de carga mostrado:
. - Eixo de simetria vertical rotulado como eixo
; o ponto onde se avalia o potencial/ campo está sobre esse eixo, a uma distância que chamaremos de do centro do anel. - A distância do elemento de carga até o ponto do eixo será chamada de
(a ser escrita em termos de e ).
- Anel de vidro de raio
Passo 2
Conceitos e fórmula diferencial que vamos usar (devagar e sem pular etapas):
- Potencial elétrico criado por uma pequena carga pontual
num ponto a distância é dado por
onde
. Explicando:
é a contribuição ao potencial naquele ponto devido à pequena parcela
;
é a separação entre
e o ponto; por superposição, o potencial total é a soma (integral) de todas as contribuições
.
- Relação entre
, e um elemento de comprimento do anel: se paramos o anel pelo ângulo polar , o comprimento de um elemento é , logo
- Observação geométrica importante (a usar no próximo passo): para um ponto no eixo a uma distância
do centro do anel, a distância entre qualquer elemento do anel (que está a distância do centro) e o ponto é a mesma para todos os elementos; ou seja, é independente de . Essa igualdade facilita muito a integral.
Passo 3
Expressar
em termos de
e
(geometria básica):
- Desenhe o triângulo retângulo que liga o centro do anel, um elemento
(no círculo de raio ) e o ponto no eixo a distância . Os catetos do triângulo são (plano do anel até o eixo) e (do plano do anel até o ponto sobre o eixo). Pelo teorema de Pitágoras,
Esta é a expressão pedida para
.
Passo 4
Calcular o potencial
por integração (passo a passo):
- Começamos da contribuição diferencial
de um :
- Substituir
e usar que é constante em :
- Integrar
ao longo de todo o anel, variando de a :
- A integral de
dá . Definindo a carga total do anel , obtemos duas formas equivalentes:
- Substituindo
dá a forma frequentemente útil:
Passo 5
Agora usar
para obter o campo ao longo do eixo:
- Pelo simetria, o potencial depende apenas de
, então o gradiente tem apenas componente na direção . Assim
e o campo vetorial é
.
- Usar a forma
. Calcular a derivada passo a passo:
- Portanto
- Escrevendo com
e (lembrando ) e também com se preferir:
Passo 6
Interpretações rápidas (úteis para prova, curta e direta):
- No centro do anel (
) temos — porque as contribuições z das cargas se cancelam por simetria. - Para
(ponto muito longe) a expressão tende para a do campo de uma carga pontual:
ou seja, comporta-se como uma carga total
concentrada no centro.
- A expressão tem sinal dado por
: para (acima do anel) e cargas positivas, aponta para + (empurra para cima); para o campo aponta para .
Resposta
(a)
(b)