Um anel de vidro de raio R está eletrizado com cargas positivas distribuídas homogeneamente na forma de uma densidade linear de cargas \lambda.
(a) Obtenha uma expressão que permita calcular o potencial elétrico gerado pelo anel ao longo do eixo de simetria do anel.
(b) Usando \vec{E}=-\nabla V, obtenha uma expressão que permita calcular o campo elétrico gerado pelo anel ao longo do eixo de simetria. Escreva r, a distância do anel até o ponto onde se deseja calcular o potencial, em termos de R e da coordenada sobre a qual se situa o eixo de simetria do anel.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e fornece dados claros. Vou listar:
  • O que se pede:
    • (a) Obter uma expressão para o potencial elétrico gerado pelo anel ao longo do eixo de simetria do anel.
    • (b) Usando \vec{E}=-\nabla V, obter uma expressão para o campo elétrico ao longo desse mesmo eixo. Escrever a distância r do anel até o ponto onde se quer calcular o potencial em termos de R e da coordenada ao longo do eixo de simetria.
  • Informações dadas (observadas no enunciado e na figura):
    • Anel de vidro de raio R.
    • Cargas positivas distribuídas homogeneamente com densidade linear \lambda.
    • Um elemento de carga mostrado: dq=\lambda\,dl.
    • Eixo de simetria vertical rotulado como eixo z; o ponto onde se avalia o potencial/ campo está sobre esse eixo, a uma distância que chamaremos de z do centro do anel.
    • A distância do elemento de carga até o ponto do eixo será chamada de r (a ser escrita em termos de R e z).

Passo 2

Conceitos e fórmula diferencial que vamos usar (devagar e sem pular etapas):
  • Potencial elétrico criado por uma pequena carga pontual dq num ponto a distância r é dado por
dV = k\,\frac{dq}{r},
onde k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}. Explicando: dV é a contribuição ao potencial naquele ponto devido à pequena parcela dq; r é a separação entre dq e o ponto; por superposição, o potencial total é a soma (integral) de todas as contribuições dV.
  • Relação entre \lambda, dq e um elemento de comprimento do anel: se paramos o anel pelo ângulo polar \varphi, o comprimento de um elemento é dl=R\,d\varphi, logo
dq=\lambda\,dl=\lambda R\,d\varphi.
  • Observação geométrica importante (a usar no próximo passo): para um ponto no eixo a uma distância z do centro do anel, a distância entre qualquer elemento do anel (que está a distância R do centro) e o ponto é a mesma para todos os elementos; ou seja, r é independente de \varphi. Essa igualdade facilita muito a integral.

Passo 3

Expressar r em termos de R e z (geometria básica):
  • Desenhe o triângulo retângulo que liga o centro do anel, um elemento dq (no círculo de raio R) e o ponto no eixo a distância z. Os catetos do triângulo são R (plano do anel até o eixo) e z (do plano do anel até o ponto sobre o eixo). Pelo teorema de Pitágoras,
r=\sqrt{R^{2}+z^{2}}.
Esta é a expressão pedida para r.

Passo 4

Calcular o potencial V(z) por integração (passo a passo):
  • Começamos da contribuição diferencial dV de um dq:
dV = k\,\frac{dq}{r}.
  • Substituir dq=\lambda R\,d\varphi e usar que r=\sqrt{R^{2}+z^{2}} é constante em \varphi:
dV = k\,\frac{\lambda R\,d\varphi}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}.
  • Integrar dV ao longo de todo o anel, \varphi variando de 0 a 2\pi:
V(z)=\int_{0}^{2\pi} dV = k\,\frac{\lambda R}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}\int_{0}^{2\pi} d\varphi.
  • A integral de d\varphi 2\pi. Definindo a carga total do anel Q=\lambda\,(2\pi R), obtemos duas formas equivalentes:
V(z) = k\,\frac{\lambda R (2\pi)}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}} = k\,\frac{Q}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}.
  • Substituindo k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} dá a forma frequentemente útil:
V(z) = \frac{\lambda R}{2\varepsilon_0\sqrt{R^{2}+z^{2}}}.

Passo 5

Agora usar \vec{E}=-\nabla V para obter o campo ao longo do eixo:
  • Pelo simetria, o potencial depende apenas de z, então o gradiente tem apenas componente na direção z. Assim
E_{z}(z) = -\frac{dV}{dz},
e o campo vetorial é \vec{E}(z)=E_{z}(z)\,\hat{z}.
  • Usar a forma V(z)=kQ\,(R^{2}+z^{2})^{-1/2}. Calcular a derivada passo a passo:
\frac{d}{dz}\left( (R^{2}+z^{2})^{-1/2}\right) = -\tfrac{1}{2}(R^{2}+z^{2})^{-3/2}\cdot 2z = -\frac{z}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}}.
  • Portanto
E_{z}(z) = -\frac{dV}{dz} = -kQ\left(-\frac{z}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}}\right) = kQ\,\frac{z}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}}.
  • Escrevendo com \lambda e R (lembrando Q=2\pi R\lambda) e também com \varepsilon_0 se preferir:
\vec{E}(z)=k(2\pi R\lambda)\frac{z}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}}\,\hat{z} = \frac{\lambda R z}{2\varepsilon_0 (R^{2}+z^{2})^{3/2}}\,\hat{z}.

Passo 6

Interpretações rápidas (úteis para prova, curta e direta):
  • No centro do anel ( z=0) temos E_{z}(0)=0 — porque as contribuições z das cargas se cancelam por simetria.
  • Para z\gg R (ponto muito longe) a expressão tende para a do campo de uma carga pontual:
\vec{E}(z)\approx kQ\,\frac{z}{z^{3}}\,\hat{z}=k\frac{Q}{z^{2}}\,\hat{z},
ou seja, comporta-se como uma carga total Q concentrada no centro.
  • A expressão tem sinal dado por z: para z>0 (acima do anel) e cargas positivas, \vec{E} aponta para + \hat{z} (empurra para cima); para z<0 o campo aponta para -\hat{z}.

Resposta

(a) r=\sqrt{R^{2}+z^{2}},\quad V(z)=k\,\dfrac{Q}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}} = k\,\dfrac{2\pi R\lambda}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}} = \dfrac{\lambda R}{2\varepsilon_{0}\sqrt{R^{2}+z^{2}}}.
(b) \displaystyle \vec{E}(z)=kQ\,\dfrac{z}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}}\,\hat{z} = k(2\pi R\lambda)\dfrac{z}{(R^{2}+z^{2})^{3/2}}\,\hat{z} = \dfrac{\lambda R z}{2\varepsilon_{0}(R^{2}+z^{2})^{3/2}}\,\hat{z}.

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