O potencial elétrico num plano é dado por V(x, y)=4,0 x^{2}+3,0 y^{2}, unidades SI. Determine:
(a) O campo elétrico;
(b) O potencial elétrico e o campo elétrico para o ponto \mathrm{A}(1,0 ; 3,0);
(c) A força elétrica e a energia potencial elétrica considerando uma carga q=-1,6 \mu C colocada no ponto A

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico no plano e pede várias coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
  • Dados do enunciado:
    • Potencial elétrico: V(x,y)=4,0\,x^{2}+3,0\,y^{2} (unidades SI).
    • Ponto A com coordenadas x_A=1,0 e y_A=3,0.
    • Carga colocada em A: q=-1,6\\ \mu\mathrm{C} = -1,6\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • O que o enunciado pede:
    (a) O campo elétrico \mathbf{E}(x,y) correspondente ao potencial dado.
    (b) O valor do potencial elétrico e do campo elétrico no ponto A(1,0;3,0).
    (c) A força elétrica \mathbf{F} e a energia potencial elétrica U para a carga q colocada no ponto A.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (explicação didática): o campo elétrico \mathbf{E} e o potencial elétrico V estão relacionados por
\mathbf{E}=-\nabla V,
onde \nabla V é o gradiente de V. O gradiente numa função de duas variáveis é o vetor das derivadas parciais:
\displaystyle \nabla V=\left(\frac{\partial V}{\partial x},\;\frac{\partial V}{\partial y}\right).
Isso significa, na prática, que para obter \mathbf{E} calcula-se as derivadas parciais de V em cada coordenada e coloca-se um sinal negativo. Cada componente tem unidade de volt por metro ( \mathrm{V/m}).
Também usaremos as definições para uma partícula de carga q:
\mathbf{F}=q\,\mathbf{E}, \qquad U=q\,V,
onde \mathbf{F} é a força elétrica (em newtons) e U é a energia potencial elétrica (em joules). Observação física útil: se q é negativa, a força aponta na direção oposta ao campo elétrico.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de V(x,y)=4,0\,x^{2}+3,0\,y^{2}.
  • Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial V}{\partial x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(4,0\,x^{2}\bigr)=2\cdot4,0\,x=8,0\,x.
  • Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial V}{\partial y}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\bigl(3,0\,y^{2}\bigr)=2\cdot3,0\,y=6,0\,y.
Aplicando \mathbf{E}=-\nabla V obtemos:
\mathbf{E}(x,y) = -\bigl(8,0\,x\bigr)\,\hat{\mathbf{i}} - \bigl(6,0\,y\bigr)\,\hat{\mathbf{j}}.
Em forma vetorial:
\mathbf{E}(x,y)=\bigl(-8,0\,x,\; -6,0\,y\bigr)\\ \mathrm{V/m}.

Passo 4

Agora calculamos o potencial no ponto A. As coordenadas são x_A=1,0 e y_A=3,0. Substituindo em V:
V(A)=V(1,0,\,3,0)=4,0\cdot(1,0)^{2}+3,0\cdot(3,0)^{2}.
Calcule passo a passo:
4,0\cdot(1,0)^{2}=4,0\cdot1,0=4,0, \qquad 3,0\cdot(3,0)^{2}=3,0\cdot9,0=27,0.
Somando:
V(A)=4,0+27,0=31,0\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Agora avaliamos o campo elétrico em A usando a expressão de \mathbf{E}(x,y):
\mathbf{E}(A)=\bigl(-8,0\,x_A,\; -6,0\,y_A\bigr).
Substituindo x_A=1,0 e y_A=3,0:
E_x(A)=-8,0\cdot1,0=-8,0\\ \mathrm{V/m}, \qquad E_y(A)=-6,0\cdot3,0=-18,0\\ \mathrm{V/m}.
Portanto
\mathbf{E}(A)=\bigl(-8,0,\;-18,0\bigr)\\ \mathrm{V/m}.

Passo 6

Agora vamos calcular a força elétrica sobre a carga q=-1,6\times10^{-6}\\ \mathrm{C} colocada em A. A fórmula é \mathbf{F}=q\,\mathbf{E}(A). Calcule as componentes:
  • Componente x:
F_x=q\,E_x(A)=\bigl(-1,6\times10^{-6}\bigr)\cdot\bigl(-8,0\bigr) =1,6\times10^{-6}\cdot8,0=12,8\times10^{-6}\\ \mathrm{N}.
Escrever em notação usual:
F_x=1,28\times10^{-5}\\ \mathrm{N}.
  • Componente y:
F_y=q\,E_y(A)=\bigl(-1,6\times10^{-6}\bigr)\cdot\bigl(-18,0\bigr) =1,6\times10^{-6}\cdot18,0=28,8\times10^{-6}\\ \mathrm{N}.
Ou
F_y=2,88\times10^{-5}\\ \mathrm{N}.
Logo a força vetorial é
\mathbf{F}=\bigl(1,28\times10^{-5},\;2,88\times10^{-5}\bigr)\\ \mathrm{N}.
Comentário físico: como q é negativa e \mathbf{E}(A) tinha componentes negativas, a força tem componentes positivas — isto é, a força age no sentido oposto ao campo \mathbf{E}, como esperado para cargas negativas.

Passo 7

Agora calculamos a energia potencial elétrica U da carga em A. A fórmula é U=q\,V(A). Já temos q=-1,6\times10^{-6}\\ \mathrm{C} e V(A)=31,0\\ \mathrm{V}. Portanto:
U=q\,V(A)=\bigl(-1,6\times10^{-6}\bigr)\cdot31,0=-49,6\times10^{-6}\\ \mathrm{J}.
Em notação mais usual:
U=-4,96\times10^{-5}\\ \mathrm{J}.
O sinal negativo indica que a carga negativa tem energia potencial menor (mais ligada) no ponto A em relação ao potencial zero escolhido.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{E}(x,y)=\bigl(-8,0\,x,\;-6,0\,y\bigr)\\ \mathrm{V/m}.
(b) \displaystyle V(A)=31,0\\ \mathrm{V}
\displaystyle \mathbf{E}(A)=\bigl(-8,0,\;-18,0\bigr)\\ \mathrm{V/m}.
(c) \displaystyle \mathbf{F}=q\,\mathbf{E}(A)=\bigl(1,28\times10^{-5},\;2,88\times10^{-5}\bigr)\\ \mathrm{N}
\displaystyle U=q\,V(A)=-4,96\times10^{-5}\\ \mathrm{J}

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