O potencial elétrico num plano é dado por
, unidades SI. Determine:
(a) O campo elétrico;
(b) O potencial elétrico e o campo elétrico para o ponto
;
(c) A força elétrica e a energia potencial elétrica considerando uma carga
colocada no ponto A
(a) O campo elétrico;
(b) O potencial elétrico e o campo elétrico para o ponto
(c) A força elétrica e a energia potencial elétrica considerando uma carga
Passo 1
O enunciado dá o potencial elétrico no plano e pede várias coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
-
Dados do enunciado:
- Potencial elétrico:
(unidades SI). - Ponto
com coordenadas e . - Carga colocada em
: .
- Potencial elétrico:
-
O que o enunciado pede:
(a) O campo elétricocorrespondente ao potencial dado.
(b) O valor do potencial elétrico e do campo elétrico no ponto.
(c) A força elétricae a energia potencial elétrica para a carga colocada no ponto .
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar (explicação didática): o campo elétrico
e o potencial elétrico
estão relacionados por
onde
é o gradiente de
. O gradiente numa função de duas variáveis é o vetor das derivadas parciais:
Isso significa, na prática, que para obter
calcula-se as derivadas parciais de
em cada coordenada e coloca-se um sinal negativo. Cada componente tem unidade de volt por metro (
).
Também usaremos as definições para uma partícula de carga
:
onde
é a força elétrica (em newtons) e
é a energia potencial elétrica (em joules). Observação física útil: se
é negativa, a força aponta na direção oposta ao campo elétrico.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
.
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Aplicando
obtemos:
Em forma vetorial:
Passo 4
Agora calculamos o potencial no ponto
. As coordenadas são
e
. Substituindo em
:
Calcule passo a passo:
Somando:
Passo 5
Agora avaliamos o campo elétrico em
usando a expressão de
:
Substituindo
e
:
Portanto
Passo 6
Agora vamos calcular a força elétrica sobre a carga
colocada em
. A fórmula é
. Calcule as componentes:
- Componente
:
Escrever em notação usual:
- Componente
:
Ou
Logo a força vetorial é
Comentário físico: como
é negativa e
tinha componentes negativas, a força tem componentes positivas — isto é, a força age no sentido oposto ao campo
, como esperado para cargas negativas.
Passo 7
Agora calculamos a energia potencial elétrica
da carga em
. A fórmula é
. Já temos
e
. Portanto:
Em notação mais usual:
O sinal negativo indica que a carga negativa tem energia potencial menor (mais ligada) no ponto
em relação ao potencial zero escolhido.
Resposta
(a)
(b)
(c)