O anel Z times Z / 2 Z times 3 Z é isomorfo a qual anel?

Passo 1

O enunciado pede para identificar a estrutura do anel
(ZtimesZ)/(2Ztimes3Z)
O conteúdo aqui é fatoração de anéis e produtos de ideais, usando a propriedade de que
(Rtimes S)/(Itimes J)cong R/Itimes S/J, e em seguida o Teorema Chinês dos Restos.

Passo 2

Observamos que 2Z e 3Z são ideais em Z, e portanto
;2Ztimes3Z é um ideal em ZtimesZ. Pelo isomorfismo de quociente de produto, vale
(ZtimesZ)/(2Ztimes3Z) ;cong; Z/2Z;times;Z/3Z

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema Chinês dos Restos, que diz que, como 2 e 3 são coprimos,
Z/2Z;times;Z/3Z ;cong; Z/6Z,
com isomorfismo dado por [a]6mapstol([a]2,[a]3r).

Resposta

Z/6Z

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