Para cada item, determine se o vetor p(t) é combinação linear de p1(t), p2(t), e p3(t), onde
p1(t)=t^2-t, p2(t)=t^2-2 t+1 e, p3(t)=-t^2+1
p(t)=2 t^2-t-1

Passo 1

O enunciado dá três polinômios
p1(t)=t^2-t, p2(t)=t^2-2t+1, p3(t)=-t^2+1
e pede para verificar se
p(t)=2t^2-t-1
pode ser escrito como combinação linear de p1,p2,p3. O conteúdo é “combinação linear em espaço de polinômios” e vamos resolver um sistema para os coeficientes.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,c tais que
a,p1(t)+b,p2(t)+c,p3(t)=p(t)

Passo 3

Expandindo e agrupando em potências de t, temos
a(t^2-t)+b(t^2-2t+1)+c(-t^2+1) =(a+b-c),t^2+(-a-2b),t+(b+c)

Passo 4

Para que isso seja igual a 2t^2-t-1, igualamos coeficientes e obtemos o sistema
a+b-c=2, -,a-2b=-1, b+c=-1

Passo 5

Da segunda equação vem
a+2b=1implies a=1-2b,
e da terceira
c=-1-b
Substituindo em a+b-c=2 verifica-se que ela fica 2=2 automaticamente, logo há infinitas soluções. Por exemplo, escolhendo b=0 obtemos
a=1, c=-1

Passo 6

Com esses valores,
p(t)=1cdot p1(t)+0cdot p2(t)+(-1)cdot p3(t) =p1(t)-p3(t),
e de fato
p1(t)-p3(t)=(t^2-t)-(-t^2+1)=2t^2-t-1

Resposta

Sim. Por exemplo,
p(t)=p1(t)-p3(t)

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