Se
é nilpotente no anel comutativo
com unidade, mostre que
e
.
Passo 1
O enunciado diz: “Seja
um anel comutativo com unidade e
tal que
para algum
. Provar
”. Aqui usamos teoria de ideais principais e inversibilidade em anel com elemento nilpotente.
Passo 2
Como
, consideremos o polinômio
Então
Isso mostra que
é invertível em
. Logo
. Em particular,
provando a primeira igualdade.
Passo 3
Como
, a interseção
Portanto em geral não vale
, mas sim
.
Passo 4
Para ver que a afirmação “
” é falsa em geral, basta um contra-exemplo simples. Tome
Então
, logo
é nilpotente. Temos
que é invertível em
, de modo que
e a soma com
dá
. Mas
logo
Resposta
– De fato
porque
é unidade.
– Mas , que em geral não é
(veja o exemplo
,
).
– Mas