Se a é nilpotente no anel comutativo A com unidade, mostre que lang<= arang<=+lang<= 1-arang<==A e lang<= arang<= caplang<= 1-arang<==0.

Passo 1

O enunciado diz: “Seja A um anel comutativo com unidade e ain A tal que a^n=0 para algum n>=1. Provar
lang<= arang<= + lang<= 1 - arang<= = A e lang<= arang<= cap lang<= 1 - arang<= = 0
”. Aqui usamos teoria de ideais principais e inversibilidade em anel com elemento nilpotente.

Passo 2

Como a^n=0, consideremos o polinômio
s ;=; 1 + a + a^2 + cdots + a^n-1
Então
(1 - a),s = (1-a)(1 + a + cdots + a^n-1) = 1 - a^n = 1
Isso mostra que 1-a é invertível em A. Logo lang<= 1-arang<= = A. Em particular,
lang<= arang<= + lang<= 1-arang<= = lang<= arang<= + A = A,
provando a primeira igualdade.

Passo 3

Como lang<= 1-arang<= = A, a interseção
lang<= arang<= ,cap, lang<= 1-arang<= = lang<= arang<= ,cap, A = lang<= arang<=
Portanto em geral não vale lang<= arang<=caplang<=1-arang<==0, mas sim lang<= arang<=caplang<=1-arang<==lang<= arang<=.

Passo 4

Para ver que a afirmação “ lang<= arang<=caplang<=1-arang<==0” é falsa em geral, basta um contra-exemplo simples. Tome
A = Z/4Z, a = 2
Então a^2 = 4 = 0, logo a é nilpotente. Temos
1 - a = 1 - 2 = 3,
que é invertível em Z/4Z, de modo que lang<=1-arang<= = A e a soma com lang<= arang<= A. Mas
lang<= arang<= = 0,2,
logo
lang<= arang<= cap lang<=1-arang<= = 0,2 neq 0

Resposta

– De fato lang<= arang<= + lang<=1-arang<= = A porque 1-a é unidade.
– Mas lang<= arang<= cap lang<=1-arang<= = lang<= arang<=, que em geral não é 0 (veja o exemplo A=Z/4, a=2).

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